Chủ đề này có 1 trả lời

[ducthinh26032011]

Cho các số thực$ x,y$ thỏa:
$(x+\sqrt{1+y^{2}})(y+\sqrt{1+x^{2}})=1$
C/m:$(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 29-02-2012 - 14:16

[Nguyễn Hữu Huy]

Cho các số thực$ x,y$ thỏa:
$(x+\sqrt{1+y^{2}})(y+\sqrt{1+x^{2}})=1$
C/m:$(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=1$

$Gt \Leftrightarrow \dfrac{x^2 - y^2 -1}{x - \sqrt{1 + y^2}} . \dfrac{y^2 - x^2 -1}{y - \sqrt{1 + x^2}} = 1$

$\Leftrightarrow 1 - (x^2 - y^2)^2 = xy - x.\sqrt{1 + x^2} - y .\sqrt{1 + y^2} + \sqrt{(1 + x^2)(1 + y^2)}$

$\Leftrightarrow 1 - (x^2 - y^2)^2 = 2(xy + \sqrt{(1 + x^2)(1 + y^2)}) - (x+\sqrt{1+y^{2}})(y+\sqrt{1+x^{2}}) $

$\Leftrightarrow 2(1 - xy) - (x^2 - y^2)^2 = 2\sqrt{(1 + x^2)(1 + y^2)} \leq 2(1 - xy)$

Bình phương 2 vế lên ta sẽ có : $1 + x^2y^2 + x^2 + y^2 \leq x^2y^2 - 2xy + 1$
$ \Leftrightarrow (x + y)^2 \leq 0 \Rightarrow x + y = 0 \Rightarrow x = -y$

tới đây chắc ra ùi chớ ! thay vào xem sao !?