Chủ đề này có 4 trả lời

[hola0905]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=1& \\ y^2+yz+z^2=4& \\ z^2+xz+x^2=7& \end{matrix}\right.$

[NLT]

Mình có một cách như thế này, mong mọi người cho ý kiến ...
Biến đổi hệ đã cho, ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}
x^3 - y^3 = x - y\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\
y^3 - z^3 = 4\left( {y - z} \right)\,\,(2) \\
z^3 - x^3 = 7\left( {z - x} \right)\,\,(3) \\
\end{array} \right.$
Cộng (1),(2),(3) vế theo vế, ta được:

$\begin{array}{l}
x - y + 4\left( {y - z} \right) + 7\left( {z - x} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \, - 6x + 3y + 3z = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{y + z}}{2} \\
\end{array}$
Thế giá trị x vừa tìm được vào phương trình $x^2 + xy + y^2 = 1\,$ , và sau một vài phép biến đổi đơn giản, ta được:

$7y^2 + 4yz + z^2 = 4$
và kết hợp với phương trình đã cho: $y^2 + yz + z^2 = 4$
ta tiến hành trừ 2 phương trình trên vế theo vế, ta lại được: $\begin{array}{l}
6y^2 + 3yz = 0 \Leftrightarrow y(2y + z) = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 0 \\
y = \frac{{ - z}}{2} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$
Với y=0, dễ dàng tìm được các nghiệm (x;y;z) thỏa là (1;0;2);(-1;0;-2).
Với $y=\frac{-z}{2}$, ta thế vào phương trình $y^2 + yz + z^2 = 4$
và tìm được giá trị của z, từ đó suy ra nghiệm (x;y;z) thỏa là $\left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3};\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right);\left( {\frac{{ - 4\sqrt 3 }}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\frac{{ - \sqrt 3 }}{3}} \right)$
Vậy pt có 4 nghiệm : (x;y;z)= (1;0;2);(-1;0;-2); $\left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3};\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right);\left( {\frac{{ - 4\sqrt 3 }}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\frac{{ - \sqrt 3 }}{3}} \right)$

Mong các bạn cho ý kiến về lời giải này ....

[hola0905]

Mình có một cách như thế này, mong mọi người cho ý kiến ...
Biến đổi hệ đã cho, ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}
x^3 - y^3 = x - y\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\
y^3 - z^3 = 4\left( {y - z} \right)\,\,(2) \\
z^3 - x^3 = 7\left( {z - x} \right)\,\,(3) \\
\end{array} \right.$
Cộng (1),(2),(3) vế theo vế, ta được:

$\begin{array}{l}
x - y + 4\left( {y - z} \right) + 7\left( {z - x} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \, - 6x + 3y + 3z = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{y + z}}{2} \\
\end{array}$
Thế giá trị x vừa tìm được vào phương trình $x^2 + xy + y^2 = 1\,$ , và sau một vài phép biến đổi đơn giản, ta được:

$7y^2 + 4yz + z^2 = 4$
và kết hợp với phương trình đã cho: $y^2 + yz + z^2 = 4$
ta tiến hành trừ 2 phương trình trên vế theo vế, ta lại được: $\begin{array}{l}
6y^2 + 3yz = 0 \Leftrightarrow y(2y + z) = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 0 \\
y = \frac{{ - z}}{2} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$
Với y=0, dễ dàng tìm được các nghiệm (x;y;z) thỏa là (1;0;2);(-1;0;-2).
Với $y=\frac{-z}{2}$, ta thế vào phương trình $y^2 + yz + z^2 = 4$
và tìm được giá trị của z, từ đó suy ra nghiệm (x;y;z) thỏa là $\left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3};\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right);\left( {\frac{{ - 4\sqrt 3 }}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\frac{{ - \sqrt 3 }}{3}} \right)$
Vậy pt có 4 nghiệm : (x;y;z)= (1;0;2);(-1;0;-2); $\left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3};\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right);\left( {\frac{{ - 4\sqrt 3 }}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\frac{{ - \sqrt 3 }}{3}} \right)$

Mong các bạn cho ý kiến về lời giải này ....

Cảm ơn bạn lời giải rất hay.Không biết có cách giải tổng quát cho hệ đẳng cấp bậc 2 ba ẩn số không nhỉ?

[NLT]

Mình cũng hok bik nữa, hay là bạn thử đưa ra bài toán tổng quát xem, rồi mọi người cùng tham khảo. Bạn có cách giải nào khác cách giải của mình hok?????

[huyentrang97]

Mình nghĩ với cách làm của bạn phải có điều kiện $x\neq y\neq z$
Đây là cách làm của mình,các bạn góp ý nhé.
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+y^{2}=1 (1)\\ y^{2}+yz+z^{2}=4(2) \\ z^{2}+xz+x^{2}=7(3) \end{matrix}\right.$
$(1)+(3)-2(2)$,ta được:
$(x^{2}+xy+y^{2})+(z^{2}+xz+x^{2})-2(y^{2}+yz+x^{2})=0$
$\Leftrightarrow 2x^{2}-y^{2}-z^{2}+xy+xz-yz=0$
$(x+y+z)(2x-y-z)=0$
$\Rightarrow x+y+z=0 hoặc 2x-y-z=0$
+) TH1:x+y+z=0$\Rightarrow$ x=-y-z
Thay vào (1)ta có: $(-y-z)^{2}+(-y-z)y+y^{2}=1$
$\Leftrightarrow$ $y^{2}+yz+z^{2}=1$ (4)
từ (2) và (4) suy ra: $0(y^{2}+yz+z^{2})=3$ (vô nghiệm)
+) TH2: 2x-y-z=0$\Rightarrow$ $x= \frac{y+z}{2}$
Đến đây có thể làm như princeofmathematics
Lưu ý thứ tự nghiệm $(x;y;z)\in \begin{Bmatrix} (1;0;2),(-1;0;-2),(\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{-2\sqrt{3}}{3};\frac{4\sqrt{3}}{3}),(\frac{-\sqrt{3}}{3};\frac{2\sqrt{3}}{3};\frac{-4\sqrt{3}}{3}) \end{Bmatrix}$