Chủ đề này có 1 trả lời

[NLT]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{{a^2 }}{{b^2 + 1}} + \frac{{b^2 }}{{c^2 + 1}} + \frac{{c^2 }}{{a^2 + 1}}(a,b,c \ge 0\,\& \,a + b + c = 3)$

Mong các bạn có cách giải giúp mình, mình cũng đã nghĩ ra đc một cách, nhưng không hay lắm, khi nào rảnh mình post lên cho mọi người cùng trao đổi nhé !!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi princeofmathematics: 29-02-2012 - 17:00

[nguyenta98]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{{a^2 }}{{b^2 + 1}} + \frac{{b^2 }}{{c^2 + 1}} + \frac{{c^2 }}{{a^2 + 1}}(a,b,c \ge 0\,\& \,a + b + c = 3)$

Mong các bạn có cách giải giúp mình, mình cũng đã nghĩ ra đc một cách, nhưng không hay lắm, khi nào rảnh mình post lên cho mọi người cùng trao đổi nhé !!!!

Viết lại đề $$P=\dfrac{a^4}{b^2a^2+a^2}+\dfrac{b^4}{c^2b^2+b^2}+\dfrac{c^4}{a^2c^2+c^2}\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2}$$
Đặt $a^2+b^2+c^2=k \rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}=3 \rightarrow k\geq 3$
Do đó $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\le \dfrac{k^2}{3}$
Do đó $$P\geq \dfrac{k^2}{\dfrac{k^2}{3}+k}=\dfrac{3k}{k+3}$$
Ta sẽ chứng minh $\dfrac{3k}{k+3}\geq \dfrac{3}{2} \rightarrow \dfrac{3k}{k+3}-\dfrac{3}{2}\geq 0 \rightarrow \dfrac{k}{k+3}-\dfrac{1}{2}\geq 0 \rightarrow \dfrac{k-3}{2(k+3)}\geq 0$ đúng
Do đó $P min = \dfrac{3}{2} \leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 02-03-2012 - 21:24