Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Cho các số không âm $a, b, c$ thoả mãn $a + b + c = 1$ . Chứng minh rằng :
$$\left (a^2 + b^2\right )\left (b^2 + c^2 \right )\left (c^2 + a^2 \right ) \le \dfrac{1}{32}$$

[dark templar]

Cho các số không âm $a, b, c$ thoả mãn $a + b + c = 1$ . Chứng minh rằng :
$$\left (a^2 + b^2\right )\left (b^2 + c^2 \right )\left (c^2 + a^2 \right ) \le \dfrac{1}{32}$$

Sử dụng biến đổi tương đương,ta có:
$$(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-a^2b^2c^2 \le \frac{1}{32}$$
Đặt $q=ab+bc+ca \left(0 \le q \le \frac{1}{3} \right);r=abc\left(0 \le r \le \frac{1}{27} \right)$.
BĐT tương đương với:
$$(1-2q)(q^2-2r)-r^2 \le \frac{1}{32} \iff r^2+2r(1-2q)+\frac{1}{32} \ge q^2(1-2q)(1)$$
Theo Schur:
$$r \ge \max \left\{\frac{4q-1}{9};0 \right \}$$
Ta có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $0 \le q \le \frac{1}{4} \Rightarrow r \ge 0$
Ta có:
$$VT_{(1)} \ge \frac{1}{32} \ge VP_{(1)}=q^2(1-2q) \iff \left(q-\frac{1}{4} \right)\left(2q^2-\frac{1}{2}q-\frac{1}{8} \right) \ge 0$$
(Luôn đúng $\forall q \in \left[0;\frac{1}{4} \right]$)

Trường hợp 2: $\frac{1}{3} \ge q \ge \frac{1}{4} \Rightarrow r \ge \frac{4q-1}{9}$
Ta có:
$$VT_{(1)} \ge \frac{(4q-1)^2}{81}+\frac{2(1-2q)(4q-1)}{9}+\frac{1}{32}$$
Ta sẽ chứng minh:
$$\frac{(4q-1)^2}{81}+\frac{2(1-2q)(4q-1)}{9}+\frac{1}{32} \ge q^2(1-2q) \iff \left(q-\frac{1}{4} \right)\left(2q^2-\frac{337}{162}q+\frac{463}{648} \right) \ge 0$$
(Luôn đúng $\forall q \in \left[\frac{1}{4};\frac{1}{3} \right]$).

Vậy bài toán đã được chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi $(a;b;c) \sim \left(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)$.