Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Tặng anh em thêm một bài :
Cho các số $a, b, c$ không âm thoả mãn $a^3 + b^3 + c^3 = 3$
Chứng minh rằng :
$$a^4b^4 + b^4c^4 + c^4a^4 \le 3$$

[dark templar]

Tặng anh em thêm một bài :
Cho các số $a, b, c$ không âm thoả mãn $a^3 + b^3 + c^3 = 3$
Chứng minh rằng :
$$a^4b^4 + b^4c^4 + c^4a^4 \le 3$$

Theo AM-GM:
$$ab \le \frac{a^3+b^3+1}{3} \Rightarrow a^4b^4 \le \frac{a^3b^3(a^3+b^3)+a^3b^3}{3}=\frac{4a^3b^3-a^3b^3c^3}{3}$$
Suy ra:
$$VT \le \frac{4(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)-3a^3b^3c^3}{3}$$
Đặt $x=a^3;y=b^3;z=c^3 \Rightarrow x,y,z>0;x+y+z=3$.Ta có:
$$VT \le \frac{4(xy+yz+zx)-3xyz}{3}$$
Như vậy,ta chỉ cần chứng minh:
$$4(xy+yz+zx)-xyz \le 9$$
Đây chỉ là BĐT Schur bậc 3 với giả thuyết $x+y+z=3$:
$$(x+y+z)^3+9xyz \ge 4(x+y+z)(xy+yz+zx)$$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.