Cho $ a, b , c , d , n $ là các số nguyên dương $(n > 2)$ thỏa mãn đẳng thức : $ad = bc.$
CMR ${a}^{n} + {b}^{n} + {c}^{n} + {d}^{n}$ là hợp số.
CMR ${a}^{n} + {b}^{n} + {c}^{n} + {d}^{n}$ là hợp số.
Bắt đầu bởi nth1235, 15-03-2012 - 09:47
#1
Đã gửi 15-03-2012 - 09:47
#2
Đã gửi 15-03-2012 - 11:56
Gọi $(a,b)=p (p\geq 1 ; p \in N)$
$\Rightarrow a= \alpha p ; b =\beta p$ với $(\alpha;\beta)=1$
Thay vào ta được $\alpha p d= \beta p c$
$\Rightarrow \alpha d=\beta c$
mà $(\alpha;\beta)=1$
nên $c=\alpha q ; d=\beta q$
$\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n =\alpha^np^n +\beta^np^n+\alpha^nq^n+\beta^nq^n$
$\Leftrightarrow a^n+b^n+c^n+d^n = (\alpha^n + \beta^n)(p^n+q^n)$
mà $p,q \geq 1$ => ĐPCM
$\Rightarrow a= \alpha p ; b =\beta p$ với $(\alpha;\beta)=1$
Thay vào ta được $\alpha p d= \beta p c$
$\Rightarrow \alpha d=\beta c$
mà $(\alpha;\beta)=1$
nên $c=\alpha q ; d=\beta q$
$\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n =\alpha^np^n +\beta^np^n+\alpha^nq^n+\beta^nq^n$
$\Leftrightarrow a^n+b^n+c^n+d^n = (\alpha^n + \beta^n)(p^n+q^n)$
mà $p,q \geq 1$ => ĐPCM
- perfectstrong, Zaraki, nguyenta98 và 3 người khác yêu thích
Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF
#3
Đã gửi 15-03-2012 - 19:33
Một cách giải khác nhé :
Ta có :
$ad = bc \Rightarrow {a}^{n}{d}^{n} = {c}^{n}{b}^{n} $
$ \Rightarrow \frac{{a}^{n}}{{c}^{n}} = \frac{{b}^{n}}{{d}^{n}} = \frac{{a}^{n} + {b}^{n}}{{c}^{n} + {d}^{n}}$
Do phân số $\frac{{a}^{n} + {b}^{n}}{{c}^{n} + {d}^{n}}$ chưa tối giản ( nó bằng một phân số nhỏ hơn nó)
$\Rightarrow gcd({a}^{n} + {b}^{n} ; {c}^{n} + {d}^{n}) > 1$
Do đó, ${a}^{n} + {b}^{n} + {c}^{n} + {d}^{n}$ là hợp số.
Ps : Bài này do thầy Lê Hải Châu nghĩ ra đó.
Ta có :
$ad = bc \Rightarrow {a}^{n}{d}^{n} = {c}^{n}{b}^{n} $
$ \Rightarrow \frac{{a}^{n}}{{c}^{n}} = \frac{{b}^{n}}{{d}^{n}} = \frac{{a}^{n} + {b}^{n}}{{c}^{n} + {d}^{n}}$
Do phân số $\frac{{a}^{n} + {b}^{n}}{{c}^{n} + {d}^{n}}$ chưa tối giản ( nó bằng một phân số nhỏ hơn nó)
$\Rightarrow gcd({a}^{n} + {b}^{n} ; {c}^{n} + {d}^{n}) > 1$
Do đó, ${a}^{n} + {b}^{n} + {c}^{n} + {d}^{n}$ là hợp số.
Ps : Bài này do thầy Lê Hải Châu nghĩ ra đó.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nth1235: 15-03-2012 - 19:34
- perfectstrong, Zaraki, nguyenta98 và 1 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh