2 replies to this topic

[nth1235]

Cho $ a, b , c , d , n $ là các số nguyên dương $(n > 2)$ thỏa mãn đẳng thức : $ad = bc.$
CMR ${a}^{n} + {b}^{n} + {c}^{n} + {d}^{n}$ là hợp số.

[yeutoan11]

Gọi $(a,b)=p (p\geq 1 ; p \in N)$
$\Rightarrow a= \alpha p ; b =\beta p$ với $(\alpha;\beta)=1$
Thay vào ta được $\alpha p d= \beta p c$
$\Rightarrow \alpha d=\beta c$
mà $(\alpha;\beta)=1$
nên $c=\alpha q ; d=\beta q$
$\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n =\alpha^np^n +\beta^np^n+\alpha^nq^n+\beta^nq^n$
$\Leftrightarrow a^n+b^n+c^n+d^n = (\alpha^n + \beta^n)(p^n+q^n)$
mà $p,q \geq 1$ => ĐPCM

[nth1235]

Một cách giải khác nhé :
Ta có :
$ad = bc \Rightarrow {a}^{n}{d}^{n} = {c}^{n}{b}^{n} $
$ \Rightarrow \frac{{a}^{n}}{{c}^{n}} = \frac{{b}^{n}}{{d}^{n}} = \frac{{a}^{n} + {b}^{n}}{{c}^{n} + {d}^{n}}$
Do phân số $\frac{{a}^{n} + {b}^{n}}{{c}^{n} + {d}^{n}}$ chưa tối giản ( nó bằng một phân số nhỏ hơn nó)
$\Rightarrow gcd({a}^{n} + {b}^{n} ; {c}^{n} + {d}^{n}) > 1$
Do đó, ${a}^{n} + {b}^{n} + {c}^{n} + {d}^{n}$ là hợp số.
Ps : Bài này do thầy Lê Hải Châu nghĩ ra đó.

Edited by nth1235, 15-03-2012 - 19:34.