Cho $a, b, c$ là các số thực dương . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge \dfrac{a + b}{b + c} + \dfrac{b + c}{a + b} + 1$$
$$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge \dfrac{a + b}{b + c} + \dfrac{b + c}{a + b} + 1$$
Bắt đầu bởi Tham Lang, 15-03-2012 - 17:27
#1
Đã gửi 15-03-2012 - 17:27
Tham Lang
-
- Thành viên
-
- 1149 Bài viết
Thượng úy
#2
Đã gửi 15-03-2012 - 19:57
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
BDT cần chứng minh tương đương $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$
Hay $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\geq \frac{(a+2b+c)^2}{(b+c)(b+a)}$$
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$$VT=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ac}+\frac{b^2}{b^2}\geq \frac{(a+b+c+b)^2}{ab+bc+ac+b^2}=\frac{(a+2b+c)^2}{(b+c)(b+a)}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
Hay $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\geq \frac{(a+2b+c)^2}{(b+c)(b+a)}$$
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$$VT=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ac}+\frac{b^2}{b^2}\geq \frac{(a+b+c+b)^2}{ab+bc+ac+b^2}=\frac{(a+2b+c)^2}{(b+c)(b+a)}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
- Tham Lang yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#3
Đã gửi 29-03-2021 - 17:18
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
- alexander123 yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
