Chủ đề này có 1 trả lời

[tranvandung19972012]

Cho $x,y,z$ dương và $x+y+z=1$
Tìm $GTNN$ của $$x^3+y^3+z^3$$


^{__________________________}
MOD:Đề nghị bạn học gõ $\LaTeX$ tại đây:

$\to$ Cách gõ $\LaTeX$ trên Diễn đàn

$\to$ Gõ thử công thức toán

Nội quy diễn đàn Toán học

Nếu bạn còn tái phạm thì bài viết sẽ bị delete

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 03-04-2012 - 17:12

[tieulyly1995]

Cho $x,y,z$ dương và $x+y+z=1$
Tìm $GTNN$ của $$x^3+y^3+z^3$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương, ta có :
$x^{3}+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}\geq 3\sqrt[3]{x^{3}\frac{1}{27}\frac{1}{27}}=\frac{x}{3}$
tương tự :
$y^{3}+\frac{2}{27}\geq \frac{y}{3}$
$z^{3}+\frac{2}{27}\geq \frac{z}{3}$
Cộng vế với vế ta có :
$x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq \frac{x+y+z}{3}-3\frac{2}{27}= \frac{1}{9}$
Vậy $min(x^{3}+y^{3}+z^{3})= \frac{1}{9}$
$\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$