Chủ đề này có 6 trả lời

[danglequan97]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P): y=x² và (d): y = (m+1)x+1
1) CMR với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B và $\left | x_{A}-x_{B} \right |\geq 2$.
2) Tìm m để diện tích tam giác AOB = 3.

[nthoangcute]

1. Ta có:
Số giao điểm của (P) và (d) và số nghiệm của phương trình: $x^2=(m+1)x+1$ hay $x^2-(m+1)x-1=0$ (*)
PT(*) này là PT bậc 2 có $ac=-1<0$ nên PT này có 2 nghiệm phân biệt trái dấu nên với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B
Xét PT(*) có 2 nghiệm là 1 trong 2 hoành độ điểm A hoặc B
Khi ấy: $x_A+x_B=m+1$ và $x_A.x_B=-1$
Suy ra $(x_A-x_B)^2=(x_A+x_B)^2-4.x_A.x_B=(m+1)^2+4 \geq 4$
nên có ĐPCM

[nthoangcute]

2.
Bạn tham khảo bài tương tự:

Câu II Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): $y=\frac{1}{2}x^2$ và đường thẳng d: $mx-y+1=0$.
1.Chứng minh rằng (P) luôn cắt d tại hai điểm phân biệt A,B
2.Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng $\frac{3}{2}$,với O là gốc tọa độ.

Và giải là:

Phương trình xác định hoành độ giao điểm nếu có của (P) và (d) là:

$\dfrac{1}{2}x^2=mx+1\Leftrightarrow x^2-2mx-2=0$ ; (*)
Đây là một phương trình bậc hai sau khi rút gọn có biệt thức $\Delta'=m^2+2>0\;\forall\,m\in\mathbb R$ từ đó có điều phải chứng minh.
Gọi $x_1;\;x_2$ là hai nghiệm của (*), ta thấy khoảng cách:

$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(mx_1+1-mx_2-1)^2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2(m^2+1)}$

Định lý Viette lại cho ta $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4m^2+8$

Khoảng cách từ O đến AB chính là khoảng cách từ O đến (d) và nó là:
$\dfrac{|m.0-0+1|}{\sqrt{m^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{m^2+1}}$

Bây giờ giả thiết về diện tích trong đề tương đương với:

$\sqrt{4m^2+8}=3\Leftrightarrow 4m^2-1=0\Leftrightarrow (2m-1)(2m+1)=0$

Cho ta hai giá trị cần tìm của m là $m_1=\dfrac{1}{2}$ và $m_2=-\dfrac{1}{2}\blacksquare$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 10-04-2012 - 22:14

[danglequan97]

2.
Bạn tham khảo bài tương tự:


Và giải là:

mình vẫn chưa hiểu câu 2 lắm, bạn giải thích cho mình tại sao khoảng cách từ O đến AB lại có giá trị như thế được ko?

[tranxuanhoi199]

đây là 1 định lý , nếu bạn thi violympic thì sẽ biết : nếu d: ax+by=c thì  

  h=[c]/ căn bậc 2 của a^2+b^2 

[tranxuanhoi199]

mình cũng ko hiểu là bạn tính khoảng cách từ O đến d xuống phần dưới ko có liên quan gì hết

[tranxuanhoi199]

hiểu rồi