Chủ đề này có 8 trả lời

[terenceTAO]

Tính $\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{x^3}{sinx-x}$
khá thú vị ,mọi nguoi thử xem

[E. Galois]

Áp dụng quy tắc L'Hospital ta có:


$$\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{x^3}{sinx-x}=\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{3x^2}{\cos x}=\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{6x}{-\sin x}=\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{6}{-\cos x}=-6$$

[Crystal]

Tính $\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{x^3}{sinx-x}$
khá thú vị ,mọi nguoi thử xem

Nếu bạn đã biết đến khai triển Maclaurin của hàm số $y=sinx$ thì có thể giải quyết bài toán trên dựa vào khai triển này.

Ta chỉ cần khai triển Maclaurin cho $sinx$ đến bậc $3$ đối với $x$.

----

[terenceTAO]

Áp dụng quy tắc L'Hospital ta có:


$$\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{x^3}{sinx-x}=\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{3x^2}{\cos x}=\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{6x}{-\sin x}=\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{6}{-\cos x}=-6$$

Cảm ơn thầy nhưng thầy có thể giải thich thêm cho em về quy tắc này được không ạ.Em mới học lớp 11 và cũng kém giưới hạn nên không biết nó

[vietfrog]

1)Quy tắc 1:
Giả sử $y = f(x);y = g(x)$ có đạo hàm ở lân cận $x_0 ; f(x_0)=g(x_0)$ và$g'(x_0 ) \ne 0$ ở lân cận của $x_0$.
Khi đó nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \dfrac{{f'(x)}}{{g'(x)}} = A$
thì $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \dfrac{{f(x)}}{{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \dfrac{{f'(x)}}{{g'(x)}} = A$$
Quy tắc 2:
Giả sử $y = f(x);y = g(x)$ có đạo hàm ở lân cận $x_0$ ;$ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } f(x) = \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } g(x) = \infty$và $g'(x_0 ) \ne 0$ ở lân cận của $x_0$.
Khi đó nếu:$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \dfrac{{f'(x)}}{{g'(x)}} = A$
thì $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \dfrac{{f(x)}}{{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \dfrac{{f'(x)}}{{g'(x)}} = A$$

Trích '' Hàm số_ Trần Phương''

[break]

Nếu bạn đã biết đến khai triển Maclaurin của hàm số $y=sinx$ thì có thể giải quyết bài toán trên dựa vào khai triển này.

Ta chỉ cần khai triển Maclaurin cho $sinx$ đến bậc $3$ đối với $x$.

----

Thầy giải thích luôn giúp em khai triển Maclaurin với ạ, mấy cái này em không được học.

[Crystal]

Cái này được học ở chương trình Đại học bạn à. Mình sẽ nói sơ qua cho bạn.

Công thức Maclaurin của $f(x)$ có dạng
\[f\left( x \right) = f\left( 0 \right) + \frac{{f'\left( 0 \right)}}{{1!}}x + \frac{{f''\left( 0 \right)}}{{2!}}{x^2} + ... + \frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( 0 \right)}}{{n!}}{x^n} + \frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( \theta \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}{x^{n + 1}},\,\,\theta \in \left( {0;x} \right)\]
Đối với hàm $y = f\left( x \right) = \sin x$

Ta có: \[{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = {\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right),\,\,\forall n \geqslant 1\]

\[ \Rightarrow {f^{\left( n \right)}}\left( 0 \right) = \sin \frac{{n\pi }}{2} = \left\{ \begin{array}{l}
0\,\,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,\,\,\,\,n = 2k\\
{\left( { - 1} \right)^k}\,\,\,\text{nếu}\,\,\,\,\,\,n = 2k + 1
\end{array} \right.\]
Từ đó ta có được khai triển Maclaurin của hàm $f\left( x \right) = \sin x$:
\[\sin x = x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}} - \frac{{{x^7}}}{{7!}} + ... + {\left( { - 1} \right)^k}\frac{{{x^{2k + 1}}}}{{\left( {2k + 1} \right)!}} + {\left( { - 1} \right)^{\left( {k + 1} \right)}}\sin \theta \frac{{{x^{2k + 3}}}}{{\left( {2k + 3} \right)!}},\,\,\theta \in \left( {0;x} \right)\]
------------
Với bài toán trên, ta khai triển $sinx$ đến bậc 3 đối với $x$ nên $\sin x = x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + 0\left( {{x^5}} \right)$

Do đó: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^3}}}{{\sin x - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^3}}}{{x - \dfrac{{{x^3}}}{{3!}} + 0\left( {{x^5}} \right) - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^3}}}{{ - \dfrac{{{x^3}}}{6}}} = - 6\]

[Sunflower2]

Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm đến cấp n và liên tục tại điểm $x_0$ và có đạo hàm $f^{n+1}(x)$ trong lân cận $x_0$ thì tại lân cận đó , ta có khai triển :

$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1}(x-x_0)+. . . .+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}c}{n!}(x-x_0)^{n+1}$

(c nằm giữa $x_0$ và $x$ , $c=x_0+a(x-x_0) , 0<a<1$)

Số hạng cuối cùng gọi là số hạng dư của nó . Đặc biệt

$x_0=0$

, công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin:

$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1}(x)+. . . .+ \frac{f^{n}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{n+1}(\Theta x)}{n!}x^{n+1} , 0<\Theta x<1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sunflower2: 15-04-2012 - 17:25

[Sunflower2]

À , quên , một số công thức khai triển quan trọng mà ta cần nhớ :

1.$e^x=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}+o(x^n)$

2.$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-. . . .+(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+o(x^{2m-1})$

3.$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+. . . .+(-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!}+o(x^{2m})$

4.$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+. . . +(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

5.$(1+x)^\alpha =1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}x^2+. . . .+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2). . .(\alpha -n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$

Trong chương trình phổ thông , chỉ cần nhớ các công thức này ta đã có thể xử lí được nhiều bài rùi . . .^^~