Chủ đề này có 3 trả lời

[Sunflower2]

Chứng minh rằng : tồn tại số có 2012 chữ số gồm chữ số 1 và chữ số 2 sao cho số đó chia hết cho $2^{2012}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sunflower2: 15-04-2012 - 18:18

[Nxb]

Chứng minh rằng : tồn tại số có 2012 chữ số gồm chữ số 1 và chữ số 2 sao cho số đó chia hết cho $2^{2012}$

Có tất cả $2^{2012}$ số gồm chữ số 1 và 2. Ta sẽ chứng minh rằng 2 số khác nhau thì có số dư khác nhau khi chia mỗi số cho $2^{2012}$, từ đó kết hợp với nhận xét trên ta suy ra có 1 số chia hết cho $2^{2012}$. Thật vậy, giả sử tồn tại 2 số $\alpha=\overline{a_{1}a_{2}..a_{2^{2012}}}$ và $\beta=\overline{a'_{1}a'_{2}..a'_{2^{2012}}}$ đồng dư modulo $2^{2012}$. Chú ý rằng với $\alpha$ hoặc $\beta$ chẳng hạn với $\alpha$ ta có: $\alpha=a_{1}10^{2011}+a_{2}2^{2010}+..+a_{2^{2012}}$ mà 2 số $\alpha$ và $\beta$ đồng dư modulo 2, từ đó ta có $2|(a_{2^{2012}}-a'_{2^{2012}})$ dễ dàng suy ra $a_{2^{20 12}}=a'_ {2^{ 2012}}$. Ta lại có $\alpha$ và $\beta$ đồng dư modulo $2^{2}$, do $a_{2^{20 12}}=a'_ {2^{ 2012}}$ nên $a_{2^{20 12}} \equiv a'_ {2^{ 2012}}(mod 2^{2})$. Suy ra $10a_{2^{20 11}} \equiv 10a'_ {2^{ 2011}}(mod 2^{2}) \Leftrightarrow 5a_{2^{20 11}} \equiv 5a'_ {2^{ 2011}}(mod 2)$. Do $(2,5)=1$, ta có được $a_{2^{20 11}} \equiv a'_ {2^{ 2011}}(mod 2) \Leftrightarrow a_{2^{20 11}}=a'_ {2^{ 2011}}$. Chú ý rằng $2$ và $5^{i}$ nguyên tố cùng nhau, tiếp tục lập luận như trên, cuối cùng ta suy ra được $\alpha=\beta$, điều giả sử là sai.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 15-04-2012 - 21:56

[nguyenta98]

Chứng minh rằng : tồn tại số có 2012 chữ số gồm chữ số 1 và chữ số 2 sao cho số đó chia hết cho $2^{2012}$

Cách khác (tổng quát): Chứng minh tồn tại số có $n$ số gồm chữ số 1 và chữ số 2 sao cho số đó chia hết cho $2^n$
Giải:
$n=1$ đúng
Giả sử $n=k$ đúng hay số $2^k\mid \overline{a_ka_{k-1}...a_1}$
Ta sẽ chứng minh $n=k+1$ đúng hay $2^{k+1}\mid \overline{a_{k+1}a_{k}...a_1}$
TH1: $2^{k+1}\mid \overline{a_ka_{k-1}...a_1}$ ngoài ra ta cũng thấy $2^{k+1}\mid 2.10^{k}$ suy ra $2^{k+1}\mid 2.10^k+\overline{a_ka_{k-1}...a_1}=\overline{2a_ka_{k-1}...a_1}$ thỏa mãn
TH2: $2^{k+1}\not \mid \overline{a_ka_{k-1}...a_1}$ mặt khác $2^k\mid \overline{a_ka_{k-1}...a_1} \rightarrow \overline{a_ka_{k-1}...a_1} \equiv 2^{k} \pmod{2^{k+1}}$ <1>
Ngoài ra $10^k \equiv 2^{k} \pmod{2^{k+1}}$ <2>
Từ <1><2> suy ra $2^{k+1}\mid |10^k+\overline{a_ka_{k-1}...a_1}=\overline{1a_ka_{k-1}...a_1}$ thỏa mãn
Như vậy bài toán đúng với mọi $n$ đpcm
Áp vào bài ra ngay đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 15-04-2012 - 21:55

[Nxb]

Cách khác (tổng quát): Chứng minh tồn tại số có $n$ số gồm chữ số 1 và chữ số 2 sao cho số đó chia hết cho $2^n$
Giải:
$n=1$ đúng
Giả sử $n=k$ đúng hay số $2^k\mid \overline{a_ka_{k-1}...a_1}$
Ta sẽ chứng minh $n=k+1$ đúng hay $2^{k+1}\mid \overline{a_{k+1}a_{k}...a_1}$
TH1: $2^{k+1}\mid \overline{a_ka_{k-1}...a_1}$ ngoài ra ta cũng thấy $2^{k+1}\mid 2.10^{k}$ suy ra $2^{k+1}\mid 2.10^k+\overline{a_ka_{k-1}...a_1}=\overline{2a_ka_{k-1}...a_1}$ thỏa mãn
TH2: $2^{k+1}\not \mid \overline{a_ka_{k-1}...a_1}$ mặt khác $2^k\mid \overline{a_ka_{k-1}...a_1} \rightarrow \overline{a_ka_{k-1}...a_1} \equiv 2^{k} \pmod{2^{k+1}}$ <1>
Ngoài ra $10^k \equiv 2^{k} \pmod{2^{k+1}}$ <2>
Từ <1><2> suy ra $2^{k+1}\mid |10^k+\overline{a_ka_{k-1}...a_1}=\overline{1a_ka_{k-1}...a_1}$ thỏa mãn
Như vậy bài toán đúng với mọi $n$ đpcm
Áp vào bài ra ngay đpcm

Từ bài này ta suy ra đươc $11..12$($n$ chữ số $1$) chia hết cho $2^{n+1}$, tức là bỏ trường hợp 1 đi và giữ nguyên chứng minh

Chứng minh rằng : tồn tại số có 2012 chữ số gồm chữ số 1 và chữ số 2 sao cho số đó chia hết cho $2^{2012}$
P/S:

Có thể đổi 2 thành 5. TH tổng quát cũng hiển nhiên đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 15-04-2012 - 22:49