Chủ đề này có 748 trả lời

[hoclamtoan]

Bài 77 :

Câu d :
$\widehat{BCA}=\widehat{AEB}=\widehat{BKC}\Rightarrow \Delta CBK$ cân tại B và cm được BJ là pg $\widehat{CBK}\Rightarrow$ BJ là trung trực của CK.
$\Rightarrow \widehat{CBJ}=\widehat{OCH}=\widehat{CAH}$
$\Rightarrow \Delta CJB\sim \Delta CHA\Rightarrow \frac{CJ}{CH}=\frac{BC}{AC}$
Mà : $CJ=\frac{1}{4}AC;BC=2CH\Rightarrow CH=\frac{AC\sqrt{2}}{4}$
$\Delta OHC\sim \Delta CHA\Rightarrow \frac{OH}{CH}=\frac{OC}{AC}\Rightarrow OH=\frac{R\sqrt{2}}{4}$
ĐL Py-ta-go : $CH=\frac{R\sqrt{14}}{4}\Rightarrow sinBKC=sinCOH=\frac{\sqrt{14}}{4}$

[hoclamtoan]

Bài 80 :
Cho (O) đường kính AB. $(d_{1})$ và $(d_{2})$ là 2 tiếp tuyến tại A và B của (O). M là điểm di động trên (O) $(M\not\equiv A;M\not\equiv B)$ và $I\in OA$ (I và OA cố định). Lấy $C\in (d_{1})$ , lấy $D\in (d_{2})$ sao cho $CM\perp MI;ID\perp IC$. CI cắt MA tại E, ID cắt MB tại F.
a) Cm : ACMI, MEIF nội tiếp.
b) Cm : FE // AB và C, M, D thẳng hàng.
c) Vẽ dây MN của (O), MN qua I và (O') nội tiếp tam giác ABN tiếp xúc NA, NB lần lượt tại T và V. Kẻ TT', VV' và NH cùng vuông góc với AB. Cm : $\frac{NH^{2}}{TT'.VV'}$ không đổi khi M di động trên (O).

[Doilandan]

Hình bài 80 :

[Doilandan]

Bài 81 :
Cho đt (O;R). Từ 1 điểm A nằm ngoài đt (OA = 2R) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là 2 tiếp điểm).M là điểm di động trên cung nhỏ BC.
a) Cm : tg DBOM nội tiếp.
b) Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Tính góc DOE và chu vi ∆DAE theo R.
c) BC cắt OD và OE lần lượt tại K và I. Cm : OM, DI, và EK đồng quy.
d) S_∆DOE = 4S_∆KOI và KI/DE không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doilandan: 24-05-2012 - 20:30

[tolaphuy10a1lhp]

Nhờ bạn tolaphuy10a1lhp giúp : bài 24 câu d) mình đã Cm đc đg phân giác trong và ngoài rồi. Bạn chỉ thêm cho mình rõ việc áp dụng đl Ta-lét nhe!

$\frac{DF}{BE}=\frac{AD}{AE}=\frac{DI}{MI}=\frac{GD}{BE}$ (hệ quả Talet)

Bài 79 :
Từ M ở ngoài (O ; R) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O (MC < MD). Trên (O) lấy B sao cho $MB^{2}=MC.MD$.
a) Cm : MB là tiếp tuyến của (O).
b) Đường qua B và vuông góc với OM tại H cắt (O) tại điểm thứ hai A.Đường qua O và song song với AB lần lượt cắt MA, MB tại E, F. Cm : $\frac{OM}{HM}=\frac{EA^{2}}{OH^{2}}$.
c) Tiếp tuyến tại C cắt MA, MB lần lượt tại I, J. OI và OJ cắt AB lần lượt tại S và T. Cm : OC, IT, JS đồng qui.
d) Cm : $IE.JF=\frac{EF^{2}}{4}$.
e) Cho biết chu vi $\Delta MIJ$ bằng $2R\sqrt{3}$. Tính diện tích tứ giác ABFE theo R.

c) Tiếp tuyến tại C cắt MA, MB lần lượt tại I, J. OI và OJ cắt AB lần lượt tại S và T. Cm : OC, IT, JS đồng qui.
Tứ giác OTIA nội tiếp $\Rightarrow IT \perp OJ$
Tứ giác OBJS nội tiếp $\Rightarrow JS \perp OI$
Xét $ \triangle OIJ$ có IT , JS là hai đ/c cắt nhau mà $OC \perp IJ$ suy ra OC đi qua giao điểm hay OC, IT, JS đồng qui.
d) d) Cm : $IE.JF=\frac{EF^{2}}{4}$.
$\triangle OFJ \sim \triangle IEO \Rightarrow $ Đpcm.
e) Cho biết chu vi $\Delta MIJ$ bằng $2R\sqrt{3}$. Tính diện tích tứ giác ABFE theo R
$P_{MIJ}=2R\sqrt{3}\Rightarrow MB=R\sqrt{3}; OM =2R$
Tính được OH, HM . Dựa vào đồng dạng, tính được $S_{ABFE}$.

Bài này hay ở câu b !!!!!
Bài 81 tương tự như bài 79.

[chuot nhoc]

Bài 80 :
Cho (O) đường kính AB. $(d_{1})$ và $(d_{2})$ là 2 tiếp tuyến tại A và B của (O). M là điểm di động trên (O) $(M\not\equiv A;M\not\equiv B)$ và $I\in OA$ (I và OA cố định). Lấy $C\in (d_{1})$ , lấy $D\in (d_{2})$ sao cho $CM\perp MI;ID\perp IC$. CI cắt MA tại E, ID cắt MB tại F.
a) Cm : ACMI, MEIF nội tiếp.
b) Cm : FE // AB và C, M, D thẳng hàng.
c) Vẽ dây MN của (O), MN qua I và (O') nội tiếp tam giác ABN tiếp xúc NA, NB lần lượt tại T và V. Kẻ TT', VV' và NH cùng vuông góc với AB. Cm : $\frac{NH^{2}}{TT'.VV'}$ không đổi khi M di động trên (O).

Hình bài 80 :

a. Tứ giác ACMB và MEIF nội tiếp theo tổng hai góc đối bằng 180
b. Tứ giác MEIF nội tiếp=> $\widehat{MEF}=\widehat{MIF}( cùng chắn cung MF)$
Tứ giác ACMB nội tiếp => $\widehat{MCI}=\widehat{MAI}( cùng chắn cung MI)$
Mặt khác: $\widehat{MCI}+\widehat{CIM}=90^{\circ}
\widehat{MIF}+\widehat{CIM}=90^{\circ}$
Suy ra: $\widehat{MCI}=\widehat{MIF}$
=>> $\widehat{MEF}=\widehat{MAI}$, mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên EF//AB
C/m C, M, D thẳng hàng:
Ta có: $CM\perp MI$ tại M
Mặt khác: ta chứng minh được tứ giác MDIB nội tiếp=> $\widehat{IMD}+\widehat{MDB}=180^{\circ}$
=> $\widehat{IMD}=90^{\circ}$=>$IM\perp MD$ tại M
Suy ra: dpcm
c. làm k chắc lắm, mọi người xem lại:
Ta cần phải cm đc: $\frac{NA.NB}{TA.VB}$ không đổi
Đặt: TN=NV=x; AT=y; BV=z
khi đó: x+y=NA; x+z=NB; z+y=AB
cần cm: $\frac{(x+y).(x+z)}{y+z}$ k đổi....................... chắc sai rùi

[hoclamtoan]

Bài 80 :
Câu c :
Gọi K là tiếp điểm của (O') với AB. Áp dụng t/c 2tt cắt nhau:
* $2VB=BV+BK=AB+BN-AN=AB+(BN-AN)$
Tương tự : $2AT=AB-(BN-AN)$
$\Rightarrow 4VB.AT=AB^{2}-(BN-AN)^{2}$
$=(AN^{2}+BN^{2})-BN^{2}+2BN.AN-AN^{2}$
$\Rightarrow BN.AN=2AT.VB$
Hệ quả ĐL Ta-let : $\frac{NH^{2}}{TT'.VV'}=\frac{NH}{TT'}.\frac{NH}{VV'}=\frac{NA}{AT}.\frac{NB}{VB}=\frac{2AT.VB}{AT.VB}=2$ (đpcm)

[hoclamtoan]

Bài 82 :
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Một đường thẳng (d) thay đổi cắt 2 tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn thứ tự tại M, N sao cho $\widehat{MON}=90^{o}$.
a) Cm : (d) là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
b) Gọi H là tiếp điểm của (d) và (O), I là giao của AN và BM. Cm : IH // BN.
c) Tìm vị trí của (d) để tứ giác HIBN nội tiếp.
d) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta MON$. Cm : $\frac{1}{3}<\frac{r}{R}<\frac{1}{2}$

[henry0905]

a,b,c duoc c/m o http://diendantoanho...l=&fromsearch=1
d) S_MON =$\frac{1}{2}r(MN+ON+OM)$
S_MON =$\frac{1}{2}R.MN$
$\Rightarrow \frac{r}{R}=\frac{MN}{MO+NO+MN}$
3MN> MN+MO+NO
$\Rightarrow \frac{r}{R}\geq \frac{1}{3}$
Mà MO+NO+MN$\geq$ 2.MN
$\Rightarrow \frac{r}{R}\leq \frac{1}{2}$

[Luoinhat]

Bài 83 :
Từ một điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O;R)$ vẽ 2 tiếp tuyến $AB, AC$ ($B, C$ là 2 tiếp điểm).
a. Chứng minh $OA$ vuông góc $BC$ tại $H$ thuộc $BC$.
b. Trên cung nhỏ $BC$ lấy điểm $M$ bất kì, kẻ $MI$ vuông góc $BC$ tại $I, MK$ vuông AC tại $K$, $ML$ vuông $AB$ tại $L$. Cm : $M{I^2} = MK.ML$
c. Tia $AM$ cắt đường tròn $(O)$ tại $N$ ($N$ $\neq$ M), đường thẳng qua O vuông góc với $MN$ cắt $BC$ tại $S$. Chứng minh 5 điểm $O, H, M, S, N$ cùng nằm trên 1 đường tròn.
d. Cho $OA = 2R$. Tìm vị trí của $M$ trên cung nhỏ $BC$ để tích $MI.MK.ML$ có giá trị lớn nhất. Tính GTLN đó theo $R$

___

ĐHV: Chú ý $\LaTeX$, công thức phải được kẹp giữa 2 dấu $, cố gắng ít viết tắt trong bài ra. Thân !
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Luoinhat: 24-05-2012 - 14:58
$\LaTeX$

[Doilandan]

Bài 83 :
b) Xét ∆ LMI và ∆ IMK có :
$\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {LIM} = \widehat {LBM} = \widehat {MCI} = \widehat {MKI}\\
\widehat {ILM} = \widehat {IBM} = \widehat {MCK} = \widehat {MIK}
\end{array} \right.$
∆ LMI ~ ∆ IMK : MI² = MK.ML. (Đpcm
c) AM.AN = AH.AO => AM/AH = AO/AN
∆ AMH ~ ∆AON : ∠AHM = ∠ANO => M, H, O, N cùng thuộc đường tròn (1).
$\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {MHS} + \widehat {MHA} = {90^0}\\
\widehat {MOS} + \widehat {MON} = {90^0}\\
\widehat {OMN} = \widehat {MNO} = \widehat {MHA}
\end{array} \right.$
∠MOS + ∠MHA = 90⁰
∠MHS = ∠MOS => M, H, O, S cùng thuộc đt
( H, O cùng nằm trên nữa mặt phẳng bờ chứa cạnh MS) (2)
Từ (1) và (2) => năm điểm O, H, M, S, N cùng thuộc đt.
d) Gọi T = AO ∩ (O) .

Ta có : MI² = MK.ML => MI³ = MK.ML.MI

=>MK.ML.MI_max => MI_{max =>} M ™ trùng T hay T là điểm chính giữa cung BC.

Khi M ™ trùng T => MI = HT . Ta có : ∆BOT đều.

${\rm{Cos}}\,{\rm{BOA}}\,{\rm{ = }}\frac{{OB}}{{OA}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BOA} = {60^0}$

Có BH vuông OT => HT = HO = R/2 => MI³_{max =} $\frac{{{R^3}}}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doilandan: 25-05-2012 - 14:10

[tolaphuy10a1lhp]

Bài 84:
Cho đường tròn (O) đường kính AB.Trên tia đối tia AB lấy điểm E bất kỳ. Vẽ đường thẳng $xy \perp AB$ tại E. Trên xy lấy điểm I bất kỳ($I\neq E$). Vẽ tiếp tuyến ID với (O)($D\in (O)$)) ( I và D cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là AB)

a) Chứng minh bốn điểm I, D, O, E cùng nằm trên một đường tròn.
b) Đường thẳng qua D và $ \perp IO $tại H cắt AB và IE lần lượt tại F và C.
Chứng minh : $ID^{2}=IE.IC$
c) Chứng minh $\frac{1}{DH}=\frac{1}{DF}+\frac{1}{DC}$
d) Kẻ tiếp tuyến CK với (O) (K là tiếp điểm , K và C cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là AB). Chứng minh I, F, K thẳng hàng.

[hoclamtoan]

Bài 84:
Cho đường tròn (O) đường kính AB.Trên tia đối tia AB lấy điểm E bất kỳ. Vẽ đường thẳng $xy \perp AB$ tại E. Trên xy lấy điểm I bất kỳ($I\neq E$). Vẽ tiếp tuyến ID với (O)($D\in (O)$)) ( I và D cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là AB)

a) Chứng minh bốn điểm I, D, O, E cùng nằm trên một đường tròn.
b) Đường thẳng qua D và $ \perp IO $tại H cắt AB và IE lần lượt tại F và C.
Chứng minh : $ID^{2}=IE.IC$
c) Chứng minh $\frac{1}{DH}=\frac{1}{DF}+\frac{1}{DC}$
d) Kẻ tiếp tuyến CK với (O) (K là tiếp điểm , K và C cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là AB). Chứng minh I, F, K thẳng hàng.

[phuocbig]

c)C/m $\frac{1}{DH}=\frac{1}{DF}+\frac{1}{DC}$
Lần lượt c/m các ý sau
$OE.OF=OH.OI=OD^2$
$FO.FE=FH.FC$
$\Leftrightarrow OE.OF-FO^2=FH.FC$
$\Leftrightarrow OD^2-OF^2=FH.FC$
$\Leftrightarrow OD^2-OH^2-HF^2=FH.FC$
$\Leftrightarrow HD^2-HF^2=FH.FC$
$\Leftrightarrow FD.(HD-HF)=FH.FC$
$\Leftrightarrow FD.HD=FH(FD+FC)$
$\Leftrightarrow FD.HD=FH.DC$
$\Leftrightarrow FD.HD+HD.CD=FH.CD+HD.CD$
$\Leftrightarrow DH(DF+DC)=CD.DF$
$\Leftrightarrow \frac{1}{DH}=\frac{1}{DF}+\frac{1}{DC}$
d)C/m I,F,K thẳng hàng
Câu này thì mình ko chắc lắm làm thử
Gọi giao điểm của IF và (O) là K' ; giao điểm IF và OC là N
=> K' thuộc nửa mp bờ AB chứa điểm C
Ta có:$ON.OC=OF.OE=OD^2=OK'^2$
$\rightarrow \triangle ONK' \sim \triangle OK'C$
$\rightarrow \widehat{OK'C}=\widehat{ONK'}=90^{\circ}$
$\rightarrow CK'$ là tiếp tuyến $(O)$
Mà CK là tiếp tuyến (O) ; K và K' cùng thuộc nữa mp bờ AB chứa điểm C
$\rightarrow K \equiv K' $$\rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocbig: 25-05-2012 - 23:14

[Luoinhat]

Bài 85 :
Từ điểm A nằm ngoài đt (O;R) sao cho OA > 2R. Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE của đt (O) ( C, B là các tiếp điểm; AD < AE ). Gọi M là trung điểm của dây DE. Chứng minh :
a) Năm điểm A, B, O, M, C cùng thuộc đt.
b) Đường trung trực đoạn AB cắt AB , BC lần lượt tại N và F. Cm : AB là tiếp tuyến của đt ngoại tiếp ∆ACF.
c) Đường thẳng qua D và vuông góc với OB cắt BC, BE lần lượt tại H, K. Cm :$\widehat {HDM} = \widehat {HCM}$. H là trung điểm của đoạn DK.
d) AK cắt BD tại I. Cm : bốn điểm E, H, I, N thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Luoinhat: 26-05-2012 - 14:03

[quangdung1997]

Bài 85
c) Ta có:$\angle$DHC=$\angle$KHB
$\angle$KHB+$\angle$OBC=90$^{\circ}$
$\Rightarrow \angle$KHB=$\angle$DHC=$\angle$ABC=$\angle$DMC
$\Rightarrow$HDCM nt
$\Rightarrow$$\angle$HDM=$\angle$HCM
Vì HDMC nt
$\Rightarrow \angle$DMH=$\angle$DCH=$\angle$DEB
$\Rightarrow$HM//EK
$\Rightarrow$H là trung điểm DK$\Rightarrow$DPCM
câu d) ai làm hộ em cái

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangdung1997: 26-05-2012 - 13:09

[hoclamtoan]

Bài 85 :
Gọi N' là giao của HI và AB.
Hệ quả ĐL Ta-let :
$\frac{HK}{N'A}=\frac{IH}{IN}=\frac{HD}{N'B}\Rightarrow$ N' là trung điểm của AB $\Rightarrow N'\equiv N\Rightarrow H, I,N$ thẳng hàng. (1)
Cmtt : E, H, N thẳng hàng (2)
(1)(2) ta có đpcm.
----------------------------------------------------------------
Bài 84 :
Câu d :
Gọi N là giao của FK và OC.
Ta có : $OF.OE=OD^{2}=OK^{2}\Rightarrow \Delta FOK\sim \Delta KOE$
$\Rightarrow FK\perp OC.$ Mà F là trực tâm $\Delta ICO\Rightarrow IF\perp CO\Rightarrow$ đfcm.

[phuocbig]

Bài 86 : Cho $\triangle ABC$ có 3 góc nhọn nội tiếp $(O;R)$ , $M$ là trung điểm $BC$.Lấy điểm $E$ năm giữa $A,C$ sao cho $EB \neq EC$.Tia $BE$ cắt $(O)$ tại $F$.Cho biết $ME \perp AF$ tại $D$.Chứng minh $BE \perp AC$ và $\widehat{FAC} < \widehat{BAC}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocbig: 26-05-2012 - 18:22

[henry0905]

Một bài toán mạnh hơn.
Cho (O) và điểm M nằm ngoài (O). Vẽ tiếp tuyến ME,MF, cát tuyến MAB,MCD. Khi đó, FE,AD,BC đồng quy.

EF cắt BC tại G, MO cắt EF tại H
C/m được $\widehat{AHE}=\widehat{ACB}$
tứ giác AHGC nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{CAG}=\widehat{CHG}$
C/m HF là phân giác dẫn đến trùng góc nên A,G,D thẳng hàng =>dpcm

[hoclamtoan]

Bài 87 : Cho (O ; R) có 2 đưởng kính AB, CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm trên cung nhỏ BC.
a) Cm : ACBD là hình vuông.
b) AM cắt CD, BC lần lượt tại P và I. Gọi J là giao của DM và AB. Cm : IB.IC = IA.IM.
c) Chúng tỏ IJ // PD và IJ là phân giác của $\widehat{CJM}$.
d) Tính diện tích $\Delta AID$ theo R.