2 replies to this topic

[Math Is Love]

Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng p=$a^{4}+b^{4}+c^{4}$ với a;b;c là các số nguyên dương sao cho:
$a^{4}+b^{4}+c^{4}$ chia hết cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}$
(Đề thi chuyên Toán DHSPHN 2011-2012)

Edited by doxuantung97, 18-04-2012 - 19:28.

[perfectstrong]

Lời giải:
Do gt nên $a^2+b^2+c^2|p$ mà $a^2+b^2+c^2 \geq 3 \Rightarrow a^2+b^2+c^2=p=a^4+b^4+c^4$.
\[
\begin{array}{l}
3\left( {a^4 + b^4 + c^4 } \right) \ge \left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 \Rightarrow 3p \ge p^2 \Rightarrow p \le 3 \\
p = a^4 + b^4 + c^4 \ge 3 \Rightarrow p = 3:True \\
\end{array}
\]

Edited by nguyenta98, 18-04-2012 - 20:45.
Nice solution

[Math Is Love]

Lời giải:
Do gt nên $a^2+b^2+c^2|p$ mà $a^2+b^2+c^2 \geq 3 \Rightarrow a^2+b^2+c^2=p=a^4+b^4+c^4$.
\[
\begin{array}{l}
3\left( {a^4 + b^4 + c^4 } \right) \ge \left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 \Rightarrow 3p \ge p^2 \Rightarrow p \le 3 \\
p = a^4 + b^4 + c^4 \ge 3 \Rightarrow p = 3:True \\
\end{array}
\]

Có cách khác ko ạ! Cách này hơi khó hiểu

Nguyenta98: Không hề khó hiểu, vì $p$ nguyên tố nên ước của nó chỉ có thể là $1,p$ nên $a^2+b^2+c^2=p$ nên $a^2+b^2+c^2=p=a^4+b^4+c^4$
Áp dụng bdt dạng $3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2$ ta thu ngay $3(a^4+b^4+c^4)\geq (a^2+b^2+c^2)^2 \rightarrow 3p\geq p^2 \rightarrow 3\geq p$ nên $p=3$

Edited by nguyenta98, 19-04-2012 - 10:31.