Chủ đề này có 2 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán :
Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{x}{3^x}+\dfrac{y}{3^y}+\dfrac{z}{3^z}\le \dfrac{1}{9}\left (3^{x+y}+3^{y+z}+3^{z+x}\right )$$
Nguồn : onluyentoan.
(Bài giải đã có ở bên kia, tuy nhiên, mọi người hãy thử làm trước đi nhé)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 19-04-2012 - 13:12

[Ispectorgadget]

Bài này lâu rồi post lời giải của anh huymit_95 cho mọi người tham khảo.

Biến đổi
$$VP = \dfrac{3^{x+y}}{3^2}+\dfrac{3^{y+z}}{3^2}+\dfrac{3^{x+z}}{3^2}=3^{x+y-2}+3^{y+z-2}+3^{z+x-2}=\dfrac{1}{3^{x+1}}+\dfrac{1}{3^{y+1}}+\dfrac{1}{3^{z+1}}$$
Ta cần chứng minh :
$$\dfrac{x}{3^x}+\dfrac{y}{3^y}+\dfrac{z}{3^z}\le \dfrac{1}{3^{x+1}}+\dfrac{1}{3^{y+1}}+\dfrac{1}{3^{z+1}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\left (\dfrac{1-3x}{3^x}+\dfrac{1-3y}{3^y}+\dfrac{1-3z}{3^z}\right ) \ge 0 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{y+z-2x}{3^x}+\dfrac{x+z-2y}{3^y}+\dfrac{x+y-2z}{3^z}\ge 0\Leftrightarrow (x-y)\left (\dfrac{1}{3^y}-\dfrac{1}{3^x}\right )+(y-z)\left (\dfrac{1}{3^z}-\dfrac{1}{3^y}\right )+(z-x)\left (\dfrac{1}{3^x}-\dfrac{1}{3^z}\right ) \ge 0 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{(x-y)(3^x-3^y)}{3^{x+y}}+\dfrac{(y-z)(3^y-3^z)}{3^{y+z}}+\dfrac{(z-x)(3^z-3^x)}{3^{x+z}}\ge 0$$
Để ý rằng :
$x-y, 3^x-3^y$ cùng dấu suy ra $(x-y)(3^x-3^y)\ge 0$
Tương tự với $(y-z)(3^y-3^z)\ge 0, (z-x)(3^z-3^x)\ge 0$
Từ đó suy ra ĐPCM.

[Black Magician]

khó hiểu