Chủ đề này có 2 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán 1.
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $x, y$ không bằng nhau sao cho chúng thỏa mãn phương trình :
$$x^y=y^x$$
Bài toán 2.
Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ dương $x, y$ không trùng nhau thỏa đúng phương trình :
$$x^y=y^x$$

[nguyenta98]

Bài toán 1.
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $x, y$ không bằng nhau sao cho chúng thỏa mãn phương trình :
$$x^y=y^x$$

Giải như sau:
Bài 1:
Gọi $gcd(x,y)=d \rightarrow x=dm,y=dn, gcd(m,n)=1$
WLOG, giả sử $x\geq y$
$$x^y=y^x \rightarrow d^y.m^y=d^x.n^x \rightarrow m^y=d^{x-y}.n^x$$
Vì $gcd(m,n)=1$ nên từ phưong trình trên suy ra $n=1$
Khi đó viết lại đề $(dm)^d=d^{dm} \rightarrow d^d.m^d=d^{dm} \rightarrow m^d=d^{d(m-1)} \rightarrow m^d=(d^{m-1})^d \rightarrow m=d^{m-1}$ do $m,d>0$
Như vậy vì $x\neq y \rightarrow m>1$
Ta có phương trình sau $$m=d^{m-1}<1>$$
TH1: Ta thấy nếu $d=2 \rightarrow m=2^{m-1}$
Thấy $m=1$ loại, $m=2$ chọn khi đó $(x,y)=(2,4),(4,2)$
Nếu $m\geq 3$ ta sẽ chứng minh $2^{m-1}>m$
Giả sử $m=k$ đúng hay $$2^{k-1}>m$$
Ta sẽ chứng minh $m=k+1$ đúng hay $$2^{k}>k+1$$
Thật vậy do giả thiết quy nạp suy ra $2^{k-1}>k \rightarrow 2^{k}>2k >k+1$ đúng
Vậy nên $2^{m-1}>m$ với $m\geq 3$ hay với $m\geq 3$ thì <1> không xảy ra
TH2: Nếu $d=3$ ta sẽ chứng minh $3^{m-1}>m$ với $m>1$
Cm quy nạp y như trên có đpcm hay <1> cũng không xảy ra
TH3: Nếu $d>3 \rightarrow d^{m-1}>3^{m-1}>m$ với mọi $m>1$ nên <1> không xảy ra
Vậy $\boxed{(x,y)=(2,4),(4,2)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 20-04-2012 - 23:43

[nguyenta98]

Bài toán 2.
Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ dương $x, y$ không trùng nhau thỏa đúng phương trình :
$$x^y=y^x$$

Giải như sau:
Đặt $x=\dfrac{a}{b}$ và $y=\dfrac{m}{n}$ với $gcd(a,b)=gcd(m,n)=1$
Suy ra $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\frac{m}{n}}=\left(\dfrac{m}{n}\right)^{\frac{a}{b}}$
Hay $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{bm}=\left(\dfrac{m}{n}\right)^{an}$
$\Rightarrow a^{bm}.n^{an}=m^{an}.b^{bm}$
Vì $gcd(a,b)=1$ và $gcd(m,n)=1$ do đó $a^{bm} \vdots m^{an} \Rightarrow a^{bm}=k.m^{an}$
Do đó $b^{bm}=k.n^{an}$ gọi $k \vdots p$ khi đó $a \vdots p, b \vdots p \Rightarrow gcd(a,b)\neq 1$ vô lí do đó $k$ không có ước nguyên tố nào do đó $k=1$ suy ra $a^{bm}=m^{an}$ và $n^{an}=b^{bm}$
Đặt $gcd(a,m)=d \Rightarrow a=dx,m=dy,gcd(x,y)=1$ và $gcd(n,b)=e \Rightarrow n=eu,b=ev,gcd(u,v)=1$
Lúc đó $(dx)^{evdy}=(dy)^{dxeu}$ và $(eu)^{dxeu}=(ev)^{evdy}$
Suy ra $(dx)^{vy}=(dy)^{ux}$ và $(eu)^{xu}=(ev)^{vy}$
Không mất tổng quát giả sử $vy>ux$ (chú ý $vy\neq ux$) vì lí do $gcd(a,b)=1 \Rightarrow gcd(dx,ev)=1 \Rightarrow gcd(x,v)=1$ và $gcd(m,n)=1 \Rightarrow gcd(dy,eu)=1 \Rightarrow gcd(y,u)=1$ và $gcd(u,v)=gcd(x,y)=1$ nên $ux\neq vy$)
Như vậy $vy>ux$ suy ra $d^{vy-ux}.x^{vy}=y^{ux}$ vì $gcd(x,y)=1$ và $y^{ux} \vdots x^{vy}$ nên $x=1$
Do đó $d^{vy-u}=y^u$
Xét $(eu)^{xu}=(ev)^{vy} \Rightarrow u^{u}=v^{vy}.e^{vy-u}$ (thay $x=1$) cm tương tự trên $v=1$
Do đó $u^u=e^{y-u}$ và pt trên $d^{vy-u}=y^u \Rightarrow d^{y-u}=y^u$
Ta lại có do $gcd(y,u)=1$ cmt nên $gcd(y-u,u)=1$ khi ấy theo bài toán lũy thừa quen thuộc suy ra tồn tại $p$ sao cho $u=p^{y-u},e=p^u$ và $q$ sao cho $d=q^u,y=q^{y-u}$
Do đó $y-u=q^{y-u}-p^{y-u}$
Vì $y>u$ (do $vy>ux$ mà $x=v=1$) suy ra $q>p$
TH1: $y-u=1$ khi đó $q-p=1$
Như vậy $a=dx=d=q^u$, $b=ev=e=p^u$, $m=dy=q^y$, $n=eu=p^y$
Do đó $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\frac{m}{n}}=\left(\dfrac{m}{n}\right)^{\frac{a}{b}} \Leftrightarrow \left(\dfrac{q}{p}\right)^{u.\frac{q^y}{p^y}}=\left(\dfrac{q}{p}\right)^{y.\frac{q^u}{p^y}}$
Suy ra $u.\dfrac{q^y}{p^y}=y.\dfrac{q^u}{p^u}$
Thay $q=p+1,y=u+1$ suy ra $\dfrac{u+1}{u}=\dfrac{p+1}{p} \Rightarrow (u+1)p=(p+1)u$ vì $gcd(p,p+1)=1 \Rightarrow p \vdots u$ cm tương tự $u \vdots p \Rightarrow u=p$
Suy ra $x=\left(\dfrac{k+1}{k}\right)^k$ còn $y=\left(\dfrac{k+1}{k}\right)^{k+1}$ với $k$ nguyên dương và hoán vị giữa $(x,y)$
TH2: $y-u=g$ với $g>1$ khi đó $g=q^g-p^g$
Vì $q>p \Rightarrow q\geq p+1$ do đó $g\geq (p+1)^g-p^g=C_g^1.p^{g-1}+...+C_g^{g-1}.p>C_g^{g-1}.p=gp$ do đó $g>qp \Rightarrow 1>p$ vô lí vì $p$ nguyên dương
Vậy $\boxed{(x,y)=\left(\left(\dfrac{k+1}{k}\right)^k,\left(\dfrac{k+1}{k}\right)^{k+1}\right),\left(\left(\dfrac{k+1}{k}\right)^{k+1},\left(\dfrac{k+1}{k}\right)^k\right)}$ với $k$ nguyên dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 07-11-2012 - 23:40