Đề bài:Cho $k\in\mathbb{Z}^+$. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có hệ số thực thỏa
$$P(P(x))=(P(x))^k,\forall x\in\mathbb{R}$$
#1
Đã gửi 22-04-2012 - 16:59
alex_hoang
-
- Hiệp sỹ
-
- 1152 Bài viết
Thượng úy
#2
Đã gửi 22-04-2012 - 17:15
Karl Heinrich Marx
-
- Thành viên
-
- 321 Bài viết
Sĩ quan
Nếu $P(x)$ là hằng số thì ta dễ dàng tìm được $P(x)=0,P(x)=1$ hoặc $P(x)=-1$ với $k$ chẵn.Đề bài:Cho $k\in\mathbb{Z}^+$. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có hệ số thực thỏa
$$P(P(x))=(P(x))^k,\forall x\in\mathbb{R}$$
Nếu $P(x)$ khác hằng số dẫn đến $P(x)$ nhận vô số giá trị trên $R$
Dễ nhận thấy bậc $P(x)$ là $k$. Chọn $k+1$ số $a_0,a_1,..,a_{k}$ sao cho $P(a_i)$ nhận các giá trị khác nhau trên $R$. Đặt $G(x)=P(x)-x^k$ khi đó $G(x)$ có $k+1$ nghiệm là $P(a_0),P(a_1),...,P(a_k)$ nên $G(x) \equiv 0$ nên $P(x)=x^k$
- perfectstrong và alex_hoang thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
