Chủ đề này có 1 trả lời

[alex_hoang]

Cho các số thực $x,y,z$ thuộc đoạn $[-1;1]$ thỏa mãn $x+y+z+xyz=0$. Chứng minh: $$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}\le 3.$$

[phantomladyvskaitokid]

nếu $x+y+z\leq 0$ bđt đc c/m

nếu $x+y+z> 0\Rightarrow xyz<0$

giả sử z<0 thì xy>0, x+y>0 $\Rightarrow x,y \in (0;1 ]$


$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}\leq \sqrt{2x+2y+4}+\sqrt{z+1}$

cần c/m $\sqrt{2x+2y+4}+\sqrt{z+1}\leq3$

hay $\sqrt{2x+2y+4}-2\leq 1-\sqrt{z+1} \Leftrightarrow \frac{2(x+y)}{2+\sqrt{2x+2y+4}}\leq \frac{-z}{1+\sqrt{z+1}}$

$\Leftrightarrow \frac{-2z(xy+1)}{2+\sqrt{2x+2y+4}}\leq \frac{-z}{1+\sqrt{z+1}}$

$\Leftrightarrow 2xy+2(1+xy)\sqrt{z+1}\leq \sqrt{2x+2y+4}$

mà $xyz+x+y+z=0\Rightarrow z+1=\frac{(1-x)(1-y)}{1+xy}$

do đó bđt trên <=> $xy+\sqrt{(1-x)(1-y)(1+xy)}\leq \sqrt{1+\frac{x+y}{2}}$

đúng do $xy+\sqrt{(1-x)(1-y)(1+xy)}\leq \sqrt{\left [ x+(1-x) \right ]\left [ xy^2+(1-y)(1+xy) \right ]}= \sqrt{1+xy-y}\leq 1\leq \sqrt{1+\frac{x+y}{2}}$