Chủ đề này có 7 trả lời

[tieulyly1995]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn : $a+b+c=3$. Tìm GTLN của biểu thức :
$P= \sqrt{a^{2}+a+4}+ \sqrt{b^{2}+b+4}+\sqrt{c^{2}+c+4}$

[Scientists]

Có $A=\sum \sqrt{a^{2}+a+4}$
$\leq \sum \frac{6+a^{2}+a+4}{2\sqrt{6}}$
$=\sum \frac{a^{2}+a+10}{2\sqrt{6}}$
$=\sum \frac{a^{2}+a+1}{2\sqrt{6}}+\frac{27}{2\sqrt{6}}$
$=\sum \frac{a(a+1+\frac{1}{a})}{2\sqrt{6}}+\frac{27}{2\sqrt{6}}4
Xét hàm $f(t)=t+1+\frac{1}{t}$ với $t\geq 0$
Có $f'(t)=1-\frac{1}{t^{2}}$
$f'(t)=0\Leftrightarrow t=1$
Vậy $Maxf(t)=3$ khi $t=1$
Nên $A\leq \sum \frac{3a}{2\sqrt{6}}+\frac{27}{2\sqrt{6}}=\frac{36}{2\sqrt{6}}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Scientists: 14-05-2012 - 18:48

[truclamyentu]

Có $A=\sum \sqrt{a^{2}+a+4}$
$\leq \sum \frac{6+a^{2}+a+4}{2\sqrt{6}}$
$=\sum \frac{a^{2}+a+10}{2\sqrt{6}}$
$=\sum \frac{a^{2}+a+1}{2\sqrt{6}}+\frac{27}{2\sqrt{6}}$
$=\sum \frac{a(a+1+\frac{1}{a})}{2\sqrt{6}}+\frac{27}{2\sqrt{6}}4
Xét hàm $f(t)=t+1+\frac{1}{t}$ với $t\geq 0$
Có $f'(t)=1-\frac{1}{t^{2}}$
$f'(t)=0\Leftrightarrow t=1$
Vậy $Maxf(t)=3$ khi $t=1$
Nên $A\leq \sum \frac{3a}{2\sqrt{6}}+\frac{27}{2\sqrt{6}}=\frac{36}{2\sqrt{6}}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bạn bị nhầm lẫn ,tại t=1 thì hàm số đó đạt min không phải max

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

$\sqrt{a^2+a+4} \geq \frac{3}{2\sqrt{6}}(a+3) \Leftrightarrow 24(a^2+a+1) \geq 9(a^2+6a+9) \Leftrightarrow 15(a-1)^2 \geq 0 $ (luon dung)
Lap cac bdt tuong tu ...
K biet minh co bien doi sai ko nhi :-s

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 14-05-2012 - 23:10

[truclamyentu]

$\sqrt{a^2+a+4} \geq \frac{3}{2\sqrt{6}}(a+3) \Leftrightarrow 24(a^2+a+1) \geq 9(a^2+6a+9) \Leftrightarrow 15(a-1)^2 \geq 0 $ (luon dung)
Lap cac bdt tuong tu ...
K biet minh co bien doi sai ko nhi :-s

2 người nhầm rồi ,bài yêu cẩu tìm max không phải min

[truclamyentu]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn : $a+b+c=3$. Tìm GTLN của biểu thức :
$P= \sqrt{a^{2}+a+4}+ \sqrt{b^{2}+b+4}+\sqrt{c^{2}+c+4}$

Ta có :
$\begin{array}{l}
A = \sqrt {{a^2} + a + 4} + \sqrt {{b^2} + b + 4} + \sqrt {{c^2} + c + 4} \\
\le \sqrt {2({a^2} + {b^2} + a + b + 8)} + \sqrt {{c^2} + c + 4}
\end{array}$
$\begin{array}{l}
= \sqrt {2({{(a + b)}^2} - 2ab + a + b + 8)} + \sqrt {{c^2} + c + 4} \\
\le \sqrt {2({{(3 - c)}^2} + 3 - c + 8)} + \sqrt {{c^2} + c + 4}
\end{array}$
$ \le \sqrt {2{c^2} - 14c + 40} + \sqrt {{c^2} + c + 4} $
Xét :
$f© = \sqrt {2{c^2} - 14c + 40} + \sqrt {{c^2} + c + 4} ;c \in [0;3]$
Khảo sát hàm này ta dễ dàng suy ra được maxf©=f(3)=8
Vậy maxA=8 khi a=0,b=0,c=3 cùng các hoán vị .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 15-05-2012 - 09:05

[tieulyly1995]

Cách khác :
Theo giả thiết suy ra được $a,b,c$ thuộc đoạn $\left [ 0;3 \right ]$.
Biến đổi tương đương chứng minh được $\forall x \epsilon \left [ 0;3 \right ]$, ta có :
$\sqrt{x^{2}+x+4}\leq \frac{2x+6}{3}$
Áp dụng với $a,b,c$ ta có :
$P\leq \frac{2a+6}{3}+ \frac{2b+6}{3}+\frac{2c+6}{3}= \frac{2(a+b+c)+18}{3}= 8$
Vậy max$P = 8$ khi $a=3, b=c=0$ và các hoán vị của nó

[Crystal]

Bài toán: Cho $x,y,z$ là những số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm GTLN của biểu thức
\[P = \sqrt {{x^2} + x + k} + \sqrt {{y^2} + y + k} + \sqrt {{z^2} + z + k} \]
khi $k \geqslant 0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 15-05-2012 - 21:33