Chủ đề này có 2 trả lời

[dungmathpro]

1.Cho $x$, $y$, $z$, $t>0$ $x^3y^3+y^3z^3+z^3t^3+t^3x^3=1$
Chứng minh rằng:$\frac{x^9}{yzt}+\frac{y^9}{xzt}+\frac{z^9}{xyt}+\frac{t^9}{xyz}\geq 1$
2.$x^8+y^8+z^8=\frac{1}{27}$
chứng minh: $\frac{x^7}{y^2+z^2}+\frac{y^7}{z^2+x^2}+\frac{z^7}{x^2+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trần Đức Anh @@: 29-04-2012 - 21:55

[le_hoang1995]

2.$x^8+y^8+z^8=\frac{1}{27}$
chứng minh: $\frac{x^7}{y^2+z^2}+\frac{y^7}{z^2+x^2}+\frac{z^7}{x^2+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{8}$

Bài 2, sử dụng BĐT chê-bư-sép và AM-GM ta có:

$VT\geq \frac{1}{3}(x^8+y^8+z^8).\sum \frac{1}{x(y^2+z^2)}\geq \frac{1}{3}.\frac{1}{27}.\frac{9}{\sum x(y^2+z^2)}=\frac{1}{9}.\frac{1}{\sum x(y^2+z^2)}$

Sử dụng BĐT Am-gm cho 8 số:

$x^8+y^8+y^8+5.\frac{1}{3^4}\geq 8.\sqrt[8]{\frac{x^8y^{16}}{3^{20}}}=\frac{8xy^2}{3^2\sqrt{3}}$

Tương tự $x^8+z^8+z^8+5.\frac{1}{3^4}\geq 8.\sqrt[8]{\frac{x^8z^{16}}{3^{20}}}=\frac{8xz^2}{3^2\sqrt{3}}$

Cộng lại, ta được: $2(x^8+y^8+z^8)+\frac{10}{3^4}\geq \frac{8}{3^2\sqrt{3}}x(y^2+z^2)$

$\Leftrightarrow x(y^2+z^2)\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$

Hoàn toàn tương tự cho 2 bộ còn lại, ta suy ra $\sum x(y^2+z^2)\leq \frac{2}{\sqrt{3}}$

Thay vào trên, ta có $VT\geq \frac{1}{9}.\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{18}$ (chắc bạn gõ nhầm VP)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[phantomladyvskaitokid]

1.Cho $x$, $y$, $z$, $t>0$ $x^3y^3+y^3z^3+z^3t^3+t^3x^3=1$
Chứng minh rằng:$\frac{x^9}{yzt}+\frac{y^9}{xzt}+\frac{z^9}{xyt}+\frac{t^9}{xyz}\geq 1$

$(1+1+1+1)(yzt+xzt+xyt+xyz)(\frac{x^9}{yzt}+\frac{y^9}{xzt}+\frac{z^9}{xyt}+\frac{t^9}{xyz}) \geq (x^3+y^3+z^3+t^3)^3$

mà

$yzt+xzt+xyt+xyz\leq x^3+y^3+z^3+t^3$

suy ra

$\frac{x^9}{yzt}+\frac{y^9}{xzt}+\frac{z^9}{xyt}+\frac{t^9}{xyz} \geq \frac{(x^3+y^3+z^3+t^3 )^2}{4}\geq (x^3+z^3)(y^3+t^3)=1$