Chủ đề này có 3 trả lời

[HAHHA]

Cho các số thực dương sao cho $a+b+c+d=1$ . Chứng minh rằng :
$$6\left (a^3+b^3+c^3+d^3\right )\ge a^2+b^2+c^2+d^2+\dfrac{1}{8}$$

[phantomladyvskaitokid]

Cho các số thực dương sao cho $a+b+c+d=1$ . Chứng minh rằng :
$$6\left (a^3+b^3+c^3+d^3\right )\ge a^2+b^2+c^2+d^2+\dfrac{1}{8}$$

$6(a^3+b^3+c^3+d^3)$

$=6(a^3+\frac{a}{16})+6(b^3+\frac{b}{16})+6(c^3+\frac{c}{16})+6(d^3+\frac{d}{16})-\frac{3}{8}$

$\geq 3a^2+3b^2+3c^2+3d^2-\frac{3}{8}$

$=a^2+b^2+c^2+d^2+2(a^2+\frac{1}{16})+2(b^2+\frac{1}{16})+2(c^2+\frac{1}{16})+2(d^2+\frac{1}{16})-\frac{7}{8}$

$\geq a^2+b^2+c^2+d^2+a+b+c+d-\frac{7}{8}$

$= a^2+b^2+c^2+d^2+\frac{1}{8}$

[dungmathpro]

Ta có
$6a^3+\frac{3}{2}a^2+\frac{3}{8}a\geq 3.\frac{3}{2}a^2=\frac{9}{2}a^2\Rightarrow 6a^3\geq 3a^2-\frac{3}{8}a$
tương tự:
$\Rightarrow 6(a^3+b^3+c^3+d^3)\geq 3(a^2+b^2+c^2+d^2)-\frac{3}{8}(a+b+c+d)= (a^2+b^2+c^2+d^2)+2(a^2+b^2+c^2+d^2)-\frac{3}{8}\geq (a^2+b^2+c^2+d^2)+2.\frac{1}{4}(a+b+c+d)^2-\frac{3}{8}=(a^2+b^2+c^2+d^2)+\frac{1}{2}-\frac{3}{8}=\frac{1}{8}\Rightarrow đpcm$

[bosjeunhan]

Với bài này ta cũng có thể dùng pp tiếp tuyến.
Tuy là nó hơi cao, nhưng lại rất hay

File gửi kèm

•  chuyendetieptuyentrongviecchungminhbatdangthuc.pdf   644.37K   3234 Số lần tải