Chủ đề này có 2 trả lời

[HAHHA]

Bài toán :
Cho các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$
Chứng minh rằng :
$$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$$

[minh29995]

Bài toán :
Cho các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$
Chứng minh rằng :
$$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$$

Ta chứng minh
$\sqrt{x+yz}\geq \sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}$
BĐT tương đương với:
$yz\geq \frac{yz}{x}+2\sqrt{yz}$
$\Leftrightarrow 1\geq \frac{1}{x}+\frac{2}{\sqrt{yz}}$
Bất đẳng thức này đúng vì
$1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{1}{x}+\frac{2}{\sqrt{yz}}$
áp dụng vào ta có VT$\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sum \sqrt{\frac{ab}{c}}$
mà từ gt suy ra
$\sum \sqrt{\frac{ab}{c}}=\sqrt{abc}$
ta có đpcm
( Từ Sáng Tạo Bất đẳng thức của anh Phạm Kim Hùng)

[Giang1994]

Không biết có phải cách này k?

Để dễ nhìn thì thay $\frac{1}{x}:=x...$ ta được $x+y+z=1$

Bất đẳng thức tương đương

$\sum\sqrt{x+yz} \geq 1+\sum\sqrt{xy} =x+y+z+ \sum \sqrt{xy}$

Ta chứng minh

$\sqrt{x+yz}= \sqrt{x^2+xy+yz+zx} \geq x +\sqrt{xy}$

Cái này bình phương thì ra.

---> ĐPCM

________________

THCS đã xài đến Sáng tạo B ĐT à? hic
_______
Giới trẻ ngày nay "vip" lắm anh ạ . THCS mà đạo hàm, vector tùm lum.
_______
Uhm, không biết có bác nào cưa xừng làm nghé k ta, để không gian cho các e nữa chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Giang1994: 01-05-2012 - 15:08