Chủ đề này có 9 trả lời

[ducthinh26032011]

1)Cho 2 số tự nhiên $a,b$ sao cho $ab=1991^{1992}$.Hỏi tổng $a+b$có chia hết cho 1992 không?Tại sao?
2)Một gia đình lớn gồm bốn thế hệ trong đó có 7 cặp ông nội-cháu nội.Biết rằng trong gia đình mỗi người đề chỉ có nhiều nhất 2con.Hỏi gia đình đó có ít nhất mấy nam,tại sao?
3)C/m:$n=8k+7$ với $k\in N$ không biểu diễn được thành tổng của 3 bình phương.
4)Tìm đa thức $P(x)$ biết $P(x):(x-2)$ dư $2$;$P(x):(x+2)$ dư $-2$;$P(x):(x^{2}-1)$ được thương là $x$ và còn dư.

[ToanHocLaNiemVui]

3)C/m:$n=8k+7$ với $k\in N$ không biểu diễn được thành tổng của 3 bình phương.

Dễ dàng c/m được 1 số CP khi chia cho 8 thì được thương là $0;1;4$
Từ đây, suy ra tổng của 3 số CP khi chi cho 8 có dư không quá 6. Mà $n=8k+7$ chia 8 dư 7 nên ta có điều phải c/m.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ToanHocLaNiemVui: 12-05-2012 - 16:06

[mituot03]

1. có 1991$^{1992}$ $\equiv$ 1(mod 3)
=> TH1. a$\equiv$1(mod 3) ; b$\equiv$ 1(mod 3)
=> a+b $\equiv$ 2 (mod 3)
=> a+b không chia hết cho 3. Mà 1992 $\vdots$ 3
=> a+b không chia het cho 1992
TH2 a$\equiv$ -1 (mod 3) và b $\equiv$ -1 (mod 3)
=> a+b $\equiv$ 1(mod 3)
Mà 1992$\vdots$ 3
=> a+b không chia hết cho 1992
KL: a+b không chia hết cho 1992

[ducthinh26032011]

1. có 1991$^{1992}$ $\equiv$ 1(mod 3)
=> TH1. a$\equiv$1(mod 3) ; b$\equiv$ 1(mod 3)
=> a+b $\equiv$ 2 (mod 3)
=> a+b không chia hết cho 3. Mà 1992 $\vdots$ 3
=> a+b không chia het cho 1992
TH2 a$\equiv$ -1 (mod 3) và b $\equiv$ -1 (mod 3)
=> a+b $\equiv$ 1(mod 3)
Mà 1992$\vdots$ 3
=> a+b không chia hết cho 1992
KL: a+b không chia hết cho 1992

P/s:Bạn ơi,mình k hiểu những chỗ ấy.Bạn giảng dùm mình.Cảm ơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 12-05-2012 - 18:38

[mituot03]

*Có 1991$\equiv$ 1(mod 3)
=> 1991$^{1992}$$\equiv$ 1$^{1992}$(mod 3) $\equiv$ 1(mod 3)

* có nếu a là BS của b thì a cũng là BS của các ƯS của b
* a$\equiv$ -1(mod 3); b$\equiv$-1 (mod 3)
=> a= 3t-1 và b= 3h -1 (t;h $\in$ N*)
=> a+b = 3t +3h - 2 = 3k +1 ( k $\in$ n*)
a+b$\equiv$ 1(mod 3)
.

[ToanHocLaNiemVui]

4)Tìm đa thức $P(x)$ biết $P(x):(x-2)$ dư $2$;$P(x):(x+2)$ dư $-2$;$P(x):(x^{2}-1)$ được thương là $x$ và còn dư.

Theo mình câu này ở chỗ $P(x):(x^{2}-1)$ phải là $P(x):(x^{2}-4)$.

[ducthinh26032011]

Theo mình câu này ở chỗ $P(x):(x^{2}-1)$ phải là $P(x):(x^{2}-4)$.

Đúng đề rồi bạn à.Đó là bài số 4 đề thi Amsterdam 1994-1995

[davildark]

Mình chém thử câu 4
Vì $P(x) : (x^2-1)$ được thương là x và có dư nên
$P(x)=x^3+\alpha x+\beta$
$P(x):(x-2)$ dư 2
$\Rightarrow P(x)=(x-2)(x^2+ax+b)+2=x^3+x^2(a-2)+x(b-2a)-2b+2$
Vì hệ số của $x^2$ là 0 nên => a=2
$\Rightarrow P(x)=x^3+x(b-4)-2b+2$
Làm tương tự với x+2 ta có
$P(x)=x^3 +x (B-4)+2B-2$
Đồng nhất hệ số ta có hpt
$$\left\{\begin{matrix}
b-4=B-4
\\
-2b+2=2B-2
\end{matrix}\right.$$
Giải ta được b=B=1
Từ đó suy ra
$P(x)=x^3-3x$
Thử lại thấy thỏa mãn => dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 13-05-2012 - 23:15

[linhlun97]

Mình chém thử câu 4
Vì $P(x) : (x^2-1)$ được thương là x và có dư nên
$P(x)=x^3+\alpha x+\beta$
$P(x):(x-2)$ dư 2
$\Rightarrow P(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)=x^3+x^2(a-2)+x(b-2a)-2b+2$
Vì hệ số của $x^2$ là 0 nên => a=2
$\Rightarrow P(x)=x^3+x(b-4)-2b+2$
Làm tương tự với x+2 ta có
$P(x)=x^3 +x (B-4)+2B-2$
Đồng nhất hệ số ta có hpt
$$\left\{\begin{matrix}
b-4=B-4
\\
-2b+2=2B-2
\end{matrix}\right.$$
Giải ta được b=B=1
Từ đó suy ra
$P(x)=x^3-3x$
Thử lại thấy thỏa mãn => dpcm

mình ngĩ không cần phải dồng nhất hệ số phức tạp nhu thế
khi bạn có P(x)=x^3+ax+b
Áp dụng định lí bezout, ta có P(2)=2, P(-2)=-2, từ đây ta sẽ được hpt là: 8+2a+b=2 và -8-2a+b=-2
Giải hpt ta được kết quả giống bạn

[davildark]

mình ngĩ không cần phải dồng nhất hệ số phức tạp nhu thế
khi bạn có P(x)=x^3+ax+b
Áp dụng định lí bezout, ta có P(2)=2, P(-2)=-2, từ đây ta sẽ được hpt là: 8+2a+b=2 và -8-2a+b=-2
Giải hpt ta được kết quả giống bạn

Tại mình quên sạch cái định lý bezout rùi nên phải làm vậy thui dù có dài hơn tí