Chủ đề này có 3 trả lời

[legialoi]

Chứng minh:
$B = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{63}} < 6$

$C = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}....\frac{{9999}}{{10000}} < \frac{1}{{100}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi legialoi: 13-05-2012 - 08:17

[mituot03]

1. B= 1+$\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right )$ +$\left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{7} \right )$+$\left ( \frac{1}{8}+\frac{1}{15} \right )$+...+$\left ( \frac{1}{32}+\frac{1}{63} \right )$
Làm trội từng ngoặc có
A< 1+ $\frac{1}{2}$.2+ $\frac{1}{4}$.4+.....+$\frac{1}{32}$.32 = 1+1+1+1+1+1= 6
=> đpcm
Dạng tổng quát:
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+......+$\frac{1}{2^{n}-1}$< n
C/m tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mituot03: 13-05-2012 - 09:24

[Crystal]

Chứng minh:
$C = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}....\frac{{9999}}{{10000}} < \frac{1}{{100}}$

Ta có:

$2 > \sqrt {1.3} $
$4 > \sqrt {3.5} $
$6 > \sqrt {5.7} $
...
$2n > \sqrt {\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} $
Suy ra: \[2.4.6...2n > \sqrt {1.3.3.5.5...\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} = 1.3.5...\left( {2n - 1} \right)\sqrt {2n + 1} \]
\[ \Rightarrow \frac{{1.3.5...\left( {2n - 1} \right)}}{{2.4.6...2n}} < \frac{1}{{\sqrt {2n + 1} }}\]
Chọn $n=5000$, ta được: \[\frac{{1.3.5...9999}}{{2.4.6...10000}} < \frac{1}{{\sqrt {10001} }} < \frac{1}{{\sqrt {10000} }} = \frac{1}{{100}}\]
Ta có đpcm.

[mituot03]

2. Dùng phương pháp làm trội
BDT <=>$\frac{1}{C}> 100$
Có $\frac{n+1}{n}> \frac{n+2}{n+1}$
=>$\frac{1}{C}> \frac{3}{2}.\frac{5}{4}.....\frac{10001}{10000}$
=>$\frac{1}{C^{2}}> \frac{2.4.6...10000}{1.3.5...9999}.\frac{3.5.7...10001}{2.4.6....10000}= 10001 >10000$
=> $\frac{1}{C}>100$
=> đpcm