Chủ đề này có 3 trả lời

[NLT]

EXERCISE:
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \frac{{a + 2012}}{{b + 2012}} + \frac{{b + 2012}}{{c + 2012}} + \frac{{c + 2012}}{{a + 2012}}$
------------

[truclamyentu]

Bài tương tự tại đây :http://diendantoanho...16

[Crystal]

EXERCISE:
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \frac{{a + 2012}}{{b + 2012}} + \frac{{b + 2012}}{{c + 2012}} + \frac{{c + 2012}}{{a + 2012}}$
------------

Giả sử $c = \min \left\{ {a,b,c} \right\}$.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\[\sum {\frac{{a - b}}{{b\left( {b + 2012} \right)}}} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left[ {\frac{1}{{b\left( {b + 2012} \right)}} - \frac{1}{{a\left( {a + 2012} \right)}}} \right] + \left( {b - c} \right)\left[ {\frac{1}{{c\left( {c + 2012} \right)}} - \frac{1}{{a\left( {a + 2012} \right)}}} \right] \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\frac{{a + b + 2012}}{{ab\left( {a + 2012} \right)\left( {b + 2012} \right)}} + \left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)\frac{{a + c + 2012}}{{ac\left( {a + 2012} \right)\left( {c + 2012} \right)}} \ge 0\]
Bất đẳng thức trên đúng do điều ta giả sử.

[NLT]

Giả sử $c = \min \left\{ {a,b,c} \right\}$.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\[\sum {\frac{{a - b}}{{b\left( {b + 2012} \right)}}} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left[ {\frac{1}{{b\left( {b + 2012} \right)}} - \frac{1}{{a\left( {a + 2012} \right)}}} \right] + \left( {b - c} \right)\left[ {\frac{1}{{c\left( {c + 2012} \right)}} - \frac{1}{{a\left( {a + 2012} \right)}}} \right] \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\frac{{a + b + 2012}}{{ab\left( {a + 2012} \right)\left( {b + 2012} \right)}} + \left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)\frac{{a + c + 2012}}{{ac\left( {a + 2012} \right)\left( {c + 2012} \right)}} \ge 0\]
Bất đẳng thức trên đúng do điều ta giả sử.

Bài tổng quát như sau:
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \frac{{a + m}}{{b + m}} + \frac{{b + m}}{{c + m}} + \frac{{c + m}}{{a + m}}$
(Với m là số thực không âm)
---------
P/S: Có thể mở rộng cho mọi m thực ko ạ ?