Chủ đề này có 1 trả lời

[ninhxa]

Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên A có ko quá 2007 chữ số sao cho các chữ số của A chỉ là 0 hoặc 9 và A chia hết cho 10030

[nguyenta98]

Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên A có ko quá 2007 chữ số sao cho các chữ số của A chỉ là 0 hoặc 9 và A chia hết cho 10030

Bài này cho số có vẻ còn khá là lỏng
Giải như sau:
Xét dãy sau:
$$S(1)=9$$
$$S(2)=99$$
$$....$$
$$S(1003)=999...999$$ (1003 chữ số $3$)
Nếu tồn tại $S(k),1\le k\le 1003$ thuộc đãy trên chia hết cho $1003$ suy ra $99...99 \vdots 1003 \rightarrow 999....990 \vdots 10030$ ($k$ chữ số 9 thỏa mãn $\le 2007$)
Nếu không tồn tại $S(k) \vdots 1003$ một số chia $1003$ chỉ có $1002$ kiểu dư $1,2,3,....,1002$
Theo nguyên lý dirichlet tồn tại $S(i) \equiv S(j) \pmod{1003} \rightarrow S(i)-S(j) \vdots 1003 \rightarrow 999...9900...00=99..99.10...00 \vdots 1003$ ($i-j$ số 9, $j$ chữ số 0)
Mà $gcd(100...00,1003)=1 \rightarrow 99...999 \vdots 1003 \rightarrow 99...90 \vdots 10030$ với $i-j$ chữ số $9$, cho nên nó vẫn thỏa đề là có không quá $2007$ chữ số
Bài toán được chứng minh, nhưng theo mình nghĩ không nên để đề quá lỏng như vậy, bạn xem lại đề nhé