406 replies to this topic

[thedragonknight]

Bài 69:Từ pt(1) ta đc:
$y=\frac{1-2x^{2}}{x}$
Thế vào Pt(2) ta đc:
$\frac{9x^{2}}{2(1-x)^{4}}+\frac{6x^{2}-3}{2(1-x)^{2}}$
Đặt $a=(1-x)^{2}$. Pt(2) trở thành:
$\frac{9x^{2}}{2a^{2}}+\frac{6x^{2}-3}{2a}=1$
$\Leftrightarrow 2a^2+3a-9x^2-6ax=0$
$\Leftrightarrow (2a+3)(a-3x^{2})=0$
$\Rightarrow a-3x^{2}=0$
Từ đó tính đc $x=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ hoặc $x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$
Dễ dàng tính đc y:





P/s;các bạn kiểm tra dùm mình ko biết có vấn đề hay ko mà sao nghiệm lẻ dữ

Edited by thedragonknight, 04-06-2012 - 16:40.

[minhdat881439]

Rảnh chế 1 bài chơi :

Bài 67: Giải hệ:
$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{y+1}=\sqrt{2x+y}-1\\ y^2-7x^2+10x-6y-10=0\end{matrix}\right.$$

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{y+1}=\sqrt{2x+y}-1(1) & \\ y^{2}-7x^{2}+10x-6y-10=0(2) & \end{matrix}\right.$

Đk :$\sqrt{2x+y}\geq 1;y\geq -1$

$(1)\Leftrightarrow y+1=2x+y-2\sqrt{2x+y}+1 \Leftrightarrow x=\sqrt{2x+y} \Leftrightarrow x^{2}-2x=y(*)$ Thế $(*)$ vào $(2):$

$(2)\Leftrightarrow(x^{2}-2x)^{2}-7x^{2}+10x-6(x^{2}-2x)-10=0 \Leftrightarrow x^{4}-4x^{3}-9x^{2}+22x-10=0 \Leftrightarrow (x-1)(x-5)(x^{2}+2x-2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\Rightarrow y=-1 & & & \\ x=5\Rightarrow y=15 & & & \\ x=\sqrt{3}-1\Rightarrow y=6-4\sqrt{3} & & & \\ x=-1-\sqrt{3}\Rightarrow y=6+4\sqrt{3} & & & \end{matrix}\right.$
(thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của hệ:

$(1;-1) ;(5;15) ; ($$\sqrt{3}-1$;$6-4\sqrt{3}$);($-1-\sqrt{3}$;$6+4\sqrt{3}$)

Edited by Dung Dang Do, 16-06-2012 - 08:14.

[thuyngoc246]

Tiếp tục:
Bài 10: Giải phương trình:
$$x\sqrt{10-x^2}-x^2+6=0$$
P/s: Chém nhiệt tình nào, bài tập về phương trình vô tỉ mình sưu tầm được nhiều lắm

ĐK: $-\sqrt{10}\leq x \leq\sqrt{10}$
Đặt $ b=x^2-6$
Ta có phương trình
$$ x \sqrt{4-b}=b$$
$$\Rightarrow x^2(4-b)=b^2$$
$$\Leftrightarrow (b+6)(4-b)=b^2$$
$$\Leftrightarrow b^2 +b-12=0$$
$$ b=3 v b=4$$
$$x=-3 (L) x=3(N) x=-\sqrt{2} (N) x=\sqrt{2} (L)$$

Edited by thuyngoc246, 04-06-2012 - 22:43.

[Mai Duc Khai]

Làm một bài đánh dấu mốc nha

Bài 70: Giải hệ pt:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^4} + {y^2} = \frac{{697}}{{81}}\\
{x^2} + {y^2} + xy - 3{\rm{x}} - 4y + 4 = 0
\end{array} \right.\]

Bài 71: GHPT
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} = 50\\
{x^2} - {y^2} + {z^2} - {t^2} = - 24\\
x{\rm{z}} = yt\\
x - y + z + t = 0
\end{array} \right.\]

[danganhaaaa]

70.giả sử hpt có nghiệm
từ pt thứ 2 ta có $x^{2}+x(y-3)+(y-2)^{2}=0$ (1)
suy ra $\Delta (1)=(y-3)^{2}-(2y-4)^{2}=(1-y)(3y-7)$
suy ra $(1-y)(3y-7)\geq 0$
lại có $y^{2}+y(x-4)+x^{2}-3x+4=0$ (2)
suy ra $\Delta (2)=(x-4)^{2}-4(x^{2}-3x+4)$
suy ra $-3x^{2}+4x\geq 0$
từ đây thay vào pt(1) ta có pt vô ngiệm(ko biết có phải không)

Edited by danganhaaaa, 06-06-2012 - 17:17.

[minhdat881439]

$\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{2}=\frac{697}{81} (1)& \\ x^{2}+y^{2}+xy-3x-4y+4=0(2)& \end{matrix}\right.$

+$(2)\Leftrightarrow x^{2}+(y-3)^{2}+y^{2}-4y+4=0.
\Delta_{1} =(y-3)^{2}-4(y-2)^{2}=-3y^{2}+10y-7$
Để phương trình (2) có nghiệm thì: $\Delta_{1}=-3y^{2}+10y-7\geq 0\Leftrightarrow 1\leq y\leq \frac{7}{3}$(3)
+$(2)\Leftrightarrow y^{2}+(x-4)y+x^{2}-3x+4=0. \Delta _{2}=(x-4)^{2}-4(x^{2}-3x)+4=-3x^{2}+4x$
Để phương trình (2) có nghiệm thì:$\Delta _{2}=-3x^{2}+4x\geq 0\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{4}{3}$(4)
Từ (3) và (4) $\Rightarrow x^{4}+y^{2}\leq (\frac{4}{3})^{4}+(\frac{7}{3})^{2}=\frac{697}{81}$

Kết hợp với (1)$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{4}{3} & \\ y=\frac{7}{3} & \end{matrix}\right.$
Thử lại không thỏa.Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Edited by minhdat881439, 07-06-2012 - 07:24.

[hoangtrong2305]

Bài 71: GHPT
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} = 50\\
{x^2} - {y^2} + {z^2} - {t^2} = - 24\\
x{\rm{z}} = yt\\
x - y + z + t = 0
\end{array} \right.\]

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=50(1)\\ x^{2}-y^{2}+z^{2}-t^{2}=-24(2)\\ xy=zt(3)\\ x-y+z+t=0(4) \end{matrix}\right.$

Xét phương trình $(3)$: $xz=yt\Leftrightarrow xz-yt=0$

Ta xét phương trình $(1)$ và phương trình $(4)$:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=50\\ x-y+z+t=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} (x+z)^{2}+(y-t)^{2}=50\\ (x+z)-(y-t)=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} (x+z)^{2}+(y-t)^{2}=50\\ x+z=y-t \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+z=5\\ y-t=5 \end{matrix}\right.$ hay $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+z=-5\\ y-t=-5 \end{matrix}\right.$

Xét phương trình $(2)$

$x^{2}-y^{2}+z^{2}-t^{2}=-24$

$\Leftrightarrow (x+z)^{2}-(y-t)^{2}-2(xz+yt)=-24$

$\Leftrightarrow -2(xz+yt)=-24$

$\Leftrightarrow xz+yt=12$ (5)

Xét phương trình $(3)$: $xz=yt\Leftrightarrow xz-yt=0$

Kết hợp với phương trình $(5)$, ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} xz+yt=12\\ xz-yt=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} xz=6\\ yt=6 \end{matrix}\right.$

Ta có các điều sau:

$\left\{\begin{matrix} xz=6\\ yt=6 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+z=5\\ y-t=5 \end{matrix}\right.$ hay $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+z=-5\\ y-t=-5 \end{matrix}\right.$

TH1: Với $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+z=5\\ y-t=5 \end{matrix}\right.$

TH1.1:

$\left\{\begin{matrix} x+z=5\\ xz=6 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x=3\\ z=2 \end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix} x=2\\ z=3 \end{matrix}\right.$

TH1.2:

$\left\{\begin{matrix} y-t=5\\ yt=6 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} y=6\\ t=1 \end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix} y=-1\\ t=-6 \end{matrix}\right.$

Vậy ở TH1 ta có $4$ giá trị $(x;y;z;t)=\begin{Bmatrix} (3;6;2;1);(2;6;3;1);(3;-1;2;-6);(2;-1;3;-6) \end{Bmatrix}$




TH2: Với $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+z=-5\\ y-t=-5 \end{matrix}\right.$

TH2.1:


$\left\{\begin{matrix} x+z=-5\\ xz=6 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x=-3\\ z=-2 \end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix} x=-2\\ z=-3 \end{matrix}\right.$

TH2.2:


$\left\{\begin{matrix} y-t=-5\\ yt=6 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} y=1\\ t=6 \end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix} y=-6\\ t=-1 \end{matrix}\right.$

Vậy ở TH2 ta có $4$ giá trị $(x;y;z;t)=\begin{Bmatrix} (-3;1;-2;6);(-2;1;-3;6);(-3;-6;-2;-1);(-2;-6;-3;-1) \end{Bmatrix}$

Vậy ở 2 TH ta có $8$ giá trị $(x;y;z;t)$ thoả mãn:

$$\boxed{\begin{Bmatrix} (3;6;2;1);(2;6;3;1);(3;-1;2;-6);(2;-1;3;-6);(-3;1;-2;6);(-2;1;-3;6);(-3;-6;-2;-1);(-2;-6;-3;-1) \end{Bmatrix}}$$

Edited by hoangtrong2305, 07-06-2012 - 08:22.

[tieutuhamchoi98]

Bài 72:
$(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+3} = x^{2} +1$
___
L: Đánh số thứ tự bài!

Edited by L Lawliet, 08-06-2012 - 19:37.

[Mai Duc Khai]

Tiếp nha! Cực khó nè!
$(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+3} = x^{2} +1$

Bài này đơn giản là áp phương pháp: "Cần cù bù thông minh"

\[(x + 1)\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = {x^2} + 1 \Rightarrow dk:x \ge - 1\]
\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\]
\[ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} + 2{x^3} - 4{x^2} + 6x + {x^2} - 2x + 3 = {x^4} + 2{x^2} + 1\]
\[ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - 2 = 0\]
\[ \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt 2 (True)\]

Vậy nghiệm của pt là $ \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt 2 $

[tieutuhamchoi98]

$\left\{\begin{matrix} 2x^2+xy=1 & \\ \frac{9x^2}{2(1-x)^4}=1+\frac{3xy}{2(1-x)^2} & \end{matrix}\right.$

$$\left\{\begin{matrix} (2x)^2+2xy+\frac{1}{4} = 2+\frac{1}{4} & \\ \frac{(3x)^2}{((1-x)^2)^2} - \frac{3xy}{(1-x)^2}+\frac{1}{4} = 2+\frac{1}{4} & \end{matrix}\right.$$

$\Rightarrow (2x+\frac{1}{2})^2 = (\frac{3x}{(1-x)^2} + \frac{1}{2} )^2$

Đến đây dễ ợt!
___
L: Giải chi tiết ra nếu không post này sẽ bị xóa!

Edited by L Lawliet, 08-06-2012 - 19:37.

[baonguyen97]

Bài 73 Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} 2x\sqrt y + y\sqrt x = 3\sqrt {4y - 3} & \\ 2y\sqrt x + x\sqrt y = 3\sqrt {4x - 3} & \end{matrix}\right.$

Edited by Dung Dang Do, 16-06-2012 - 08:17.

[donghaidhtt]

Bài 73
Giải hệ phương trình

$ \begin{Bmatrix} \ 2x\sqrt y + y\sqrt x = 3\sqrt {4y - 3} \ (1)\\ \ 2y\sqrt x + x\sqrt y = 3\sqrt {4x - 3} \ (2) \end{Bmatrix}$

Điều kiện: $ \begin{Bmatrix} x\geq \frac{3}{4}\\ y\geq \frac{3}{4} \end{Bmatrix}$
$ (1)\Leftrightarrow \sqrt{xy}(2\sqrt{x}+\sqrt{y})=3\sqrt{4y-3}\Leftrightarrow \sqrt{xy}=\frac{3\sqrt{4y-3}}{2\sqrt{x}+\sqrt{y}} (*)

(2)\Leftrightarrow \sqrt{xy}(2\sqrt{y}+\sqrt{x})=3\sqrt{4x-3}\Leftrightarrow \sqrt{xy}=\frac{3\sqrt{4x-3}}{2\sqrt{y}+\sqrt{x}}(**)$
Từ $ (*),(**)$$ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{4y-3}}{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{4x-3}}{2\sqrt{y}+\sqrt{x}}

\Leftrightarrow 2\sqrt{4y-3}\sqrt{y}+\sqrt{4y-3}\sqrt{x}-2\sqrt{4x-3}\sqrt{x}-\sqrt{4x-3}\sqrt{y}=0

\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{4y-3}-\sqrt{4x-3})=\sqrt{x}\sqrt{4x-3}-\sqrt{y}\sqrt{4y-3}


\Leftrightarrow -(\sqrt{x}+\sqrt{y})\frac{4(x-y)}{(\sqrt{4x-3}+\sqrt{4y-3})}=(x-y)\frac{(4x+4y-3)}{\sqrt{x}\sqrt{4x-3}+\sqrt{y}\sqrt{4y-3}}

\Leftrightarrow (x-y)A=0
\Leftrightarrow x=y$ (do $ A\neq 0$)
thay $ x=y$ vào $(1)$ $ (1)\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} x^{3}-4x+3=0\\ x\geq \frac{3}{4} \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} x=y=1\\ x=y=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\\ x=y=\frac{-1-\sqrt{13}}{2} \end{bmatrix}\\ x\geq \frac{3}{4} \end{Bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y=1\\ x=y=\frac{-1+\sqrt{13}}{2} \end{bmatrix}$
Vậy pt có 2 nghiệm...

Edited by donghaidhtt, 07-06-2012 - 15:00.

[Beautifulsunrise]

Bài 74. Giải PT: $\sqrt[6]{6x-5}=\frac{x^{7}}{8x^2-10x + 3}$

Edited by binhmetric, 09-06-2012 - 01:15.

[baonguyen97]

Bài 75: Giải phương trình:

\[
\sqrt[5]{{x - 1}} + \sqrt[3]{{x + 8}} = x^3 + 1
\]

Edited by baonguyen97, 09-06-2012 - 19:26.

[Mai Duc Khai]

Bài 74: Giải phương trình:

\[
\sqrt[5]{{x - 1}} + \sqrt[3]{{x + 8}} = x^3 + 1
\]

Bài này ko biết đáp của nó như thế nào? Nhưng kết quả là ở đây

[khanh3570883]

Bài 76:
\[\sqrt[3]{{2x + 1}} + \sqrt[3]{{2x + 2}} + \sqrt[3]{{2x + 3}} = 0\]

P/s: Số thự tự đánh sai kìa!

[daovuquang]

Bài 76:
\[\sqrt[3]{{2x + 1}} + \sqrt[3]{{2x + 2}} + \sqrt[3]{{2x + 3}} = 0\]

P/s: Số thự tự đánh sai kìa!

Đặt $\sqrt[3]{2x+2}=a.$
Viết lại phương trình: $\sqrt[3]{a-1}+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a+1}=0$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{a}=-(\sqrt[3]{a-1}+\sqrt[3]{a+1})$
$\Leftrightarrow a=-(2a-3\sqrt[3]{a^3-a})$
$\Leftrightarrow a=-\sqrt[3]{a^3-a}$
$\Leftrightarrow a^3=-a^3+a$
$\Leftrightarrow a(2a^2-1)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
a=0\\
a=\frac{1}{\sqrt{2}}\\
a=-\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x=-1\\
x=\frac{1-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\\
x=-\frac{1+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}
\end{bmatrix}$

Edited by Dung Dang Do, 16-06-2012 - 08:18.

[werfdsa]

Bài 18:

$PT\Leftrightarrow \sqrt{x-1}(\sqrt{2x-7}+\sqrt{3x-18}-\sqrt{7x-1})=0$

Cái này cơ bản rồi, ra nghiệm $\fbox{x=1;x=9}$

có thể nói rõ cái này không? sao mình phân tích khác nhỉ??? $\sqrt{2x-7};\sqrt{7x-1}$?? minh ra là
$\sqrt{2x+7};\sqrt{7x+1}$ mà???

Edited by werfdsa, 09-06-2012 - 16:09.

[baonguyen97]

Bài này ko biết đáp của nó như thế nào? Nhưng kết quả là ở đây

Bài của minh nằm trong đề thi HSG Huế vòng 2, 2003-2004
kết quả là x=0
các bạn cứ tiếp tục suy nghĩ

Edited by Dung Dang Do, 16-06-2012 - 08:19.

[Mai Duc Khai]

Bài của minh nằm trong đề thi HSG Huế vòng 2, 2003-2004
kết quả là x=0
các bạn cứ tiếp tục suy nghĩ

Mới nghĩ ra lời giải "cực độc " và cũng là "biện pháp trị liệu" cho dạng này

Giải phương trình:
\[\sqrt[5]{{x - 1}} + \sqrt[3]{{x + 8}} = -x^3 + 1\]

Lời giải:

+Xét x=0 ta thấy là nghiệm của pt
+Xét x>0, Vế phải của pt nhỏ hơn 1, vế trái của pt lớn hơn 1. Suy ra pt vô nghiệm
+Xét x<0, Vế phải của pt lớn hơn 1, vế phải của pt nhỏ hơn 1. Suy ra pt vô nghiệm

Kết luận: vậy pt đã cho có duy nhất 1 nghiệm là $x=0$

Edited by maikhaiok, 09-06-2012 - 20:58.