Chủ đề này có 6 trả lời

[hoang phuc nguyen]

Cho a,b,c > 0 : $a^4+b^4+c^4< 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ . Chứng minh a,b,c là 3 cạnh của một tam giác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoang phuc nguyen: 26-05-2012 - 09:18

[Math Is Love]

$a^{4}+b^{4}+c^{4}-2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}-4a^{2}c^{2}<0$

$\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}-4a^{2}c^{2}<0$

$\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac)(a^{2}-b^{2}+c^{2}+2ac)<0$

$\Leftrightarrow (a-c+b)(a-c-b)(a+c-b)(a+c+b)<0$

Có a+b+c<0$\Rightarrow$ (a-c+b)(a-c-b)(a+c-b)<0
Tới đây bạn giải tiếp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 26-05-2012 - 11:06

[nthoangcute]

$a^{4}+b^{4}+c^{4}-2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}-4a^{2}c^{2}<0$

$\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}-4a^{2}c^{2}<0$

$\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac)(a^{2}-b^{2}+c^{2}+2ac)<0$

$\Leftrightarrow (a-c+b)(a-c-b)(a+c-b)(a+c+b)<0$

Có $a+b+c<0 \Rightarrow (a-c+b)(a-c-b)(a+c-b)<0$
Tới đây bạn giải tiếp

Tiếp đây:
Ta có:
Vì $(a-c+b)(a-c-b)(a+c-b)<0$
Tương đương với $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0$
Ta lại có: $(a+b-c)+(b+c-a)=2a>0$
Suy ra $(a+b-c)$ và $(b+c-a)$ có một số lớn hơn 0
Không mất tính tổng quát, giả sử $a+b-c>0$
Suy ra $(b+c-a)(c+a-b)>0$

Ta lại có: $(c+a-b)+(b+c-a)=2a>0$
Suy ra $(c+a-b)$ và $(b+c-a)$ có một số lớn hơn 0, mà $(b+c-a)(c+a-b)>0$
Suy ra $(c+a-b)$ và $(b+c-a)$ đều lớn hơn 0
Vậy ta có đpcm

[henry0905]

Giả sử a,b,c là 3 cạnh của tam giác

C/m được đến $\Rightarrow$ (a-c+b)(a-c-b)(a+c-b)<0
Vậy điều giả sử đúng

[nthoangcute]

Giả sử a,b,c là 3 cạnh của tam giác

C/m được đến $\Rightarrow$ (a-c+b)(a-c-b)(a+c-b)<0
Vậy điều giả sử đúng

Đây chỉ là một chiều thôi bạn à
Nếu muốn làm theo hướng này thì phải biến đổi tương đương (dài lắm)

[henry0905]

thì bạn cũng biến đổi tương đương như bạn doxuantung97
Với lại đây là giả sử nên làm gì có khái niệm 1 chiều?
a,b,c > 0
$a^4+b^4+c^4< 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ $\Leftrightarrow$ a,b,c là 3 cạnh của một tam giác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 26-05-2012 - 23:32

[nthoangcute]

Biết giảng giải thế nào cho cậu hiểu nhỉ !!!
___________________________________________________
Tượng trưng này:
Giả thiết: $a,b,c>0$
Gọi A là vấn đề $a,b,c$ là 3 cạnh của một tam giác
Gọi B là vấn đề $a^4+b^4+c^4<2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Theo cách của bạn henry0905 thì bạn chứng minh được rằng: Từ A $\Rightarrow $ B
Tức là chỉ thuận chiều từ A ta có B
Nhưng đề bài thì lại cần chứng minh: Từ B $\Rightarrow $ A
Cậu hãy so sánh

$$A \Rightarrow B$$
$$B \Rightarrow A$$

Đây là 2 cái khác hẳn nhau. Cho một minh chứng cụ thể:
Bài toán: Giải phương trình: $x^2+2x-3=0$
_____________________________________________
Theo ý của bạn henry0905 thì làm như sau:
Giả sử $x=1$.
Tính được đến $x^2+2x-3=1^2+2.1-3=0$
Suy ra điều giả sử đúng
Phương trình: $x^2+2x-3=0$ có (đúng một) nghiệm $x=1$
_____________________________________________
Trong khi đó, phương trình còn một nghiệm nữa $x=-3$
Chứng tỏ cách làm sai
_____________________________________________
Không bàn nhiều nữa. Đôi khi những cái nhỏ nhất cũng chính là con dao giết người