Chủ đề này có 4 trả lời

[ducthinh26032011]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm max của

$\sqrt{a^{2}+abc}+\sqrt{b^{2}+abc}+\sqrt{c^{2}+abc}+9\sqrt{abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 21-04-2021 - 10:24

[minh29995]

Cho $a+b+c=1$.Tìm max của
$\sqrt{a^{2}+abc}+\sqrt{b^{2}+abc}+\sqrt{c^{2}+abc}+9\sqrt{abc}$

Có cho a,b,c dương không thế bạn .
Ta có
$\sqrt{a^{2}+abc}+\sqrt{b^{2}+abc}+\sqrt{c^{2}+abc}+9\sqrt{abc}$
$=\sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}+9\sqrt{abc}$
$\leq 9\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}^3+\frac{\sqrt{3}}{2}\sum _{sym}\frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{a}.\sqrt{a+bc}$
$\leq 9\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}^3+\frac{\sqrt{3}}{2}[\frac{7}{6}(a+b+c)+\frac{1}{2}\frac{(a+b+c)^2}{3}]$
$=\frac{5\sqrt{3}}{3}$
Vậy Max bằng $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[ducthinh26032011]

Có cho a,b,c dương không thế bạn .
Ta có
$\sqrt{a^{2}+abc}+\sqrt{b^{2}+abc}+\sqrt{c^{2}+abc}+9\sqrt{abc}$
$=\sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}+9\sqrt{abc}$
$\leq 9\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}^3+\frac{\sqrt{3}}{2}\sum _{sym}\frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{a}.\sqrt{a+bc}$
$\leq 9\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}^3+\frac{\sqrt{3}}{2}[\frac{7}{6}(a+b+c)+\frac{1}{2}\frac{(a+b+c)^2}{3}]$
$=\frac{5\sqrt{3}}{3}$
Vậy Max bằng $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Mình chưa hiểu ý bạn là gì.Bạn giải thích dùm mình với>

[minh29995]

Mình chưa hiểu ý bạn là gì.Bạn giải thích dùm mình với>

Dùng Bất đẳng thức Cauchy-Schawart!! và BĐT:
$\frac{(a+b+c)^2}{3}\geq ab+bc+ca$

[KietLW9]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm max của
$\sqrt{a^{2}+abc}+\sqrt{b^{2}+abc}+\sqrt{c^{2}+abc}+9\sqrt{abc}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: $\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{abc}=\sqrt{a}(\sqrt{a+bc}+\sqrt{bc})=\sqrt{a}(\sqrt{a(a+b+c)+bc}+\sqrt{bc})=\sqrt{a}(\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{bc})\leqslant \sqrt{a}(\frac{2a+b+c}{2}+\frac{b+c}{2})=\sqrt{a}(a+b+c)$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sqrt{a^{2}+abc}+\sqrt{b^{2}+abc}+\sqrt{c^{2}+abc}+9\sqrt{abc}\leqslant (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(a+b+c)+6\sqrt{abc}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+6\sqrt{abc}\leqslant \sqrt{3(a+b+c)}+6.\sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{27}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$