Chủ đề này có 3 trả lời

[khonghieuchuyen]

Mình có một bài toán thế này:
Cho a,b nguyên dương: ab+1 là số chính phương.CMR có ít nhất một số nguyên dương c sao cho các số ac+1 và bc+1 cũng là các số chính phương.
Mình giải như sau:
Đặt $ab+1\leq ac+1\leq bc+1$
$\Rightarrow$ $a\leq b\leq c$
Ta thấy $c\geq b$, $c\geq a$ nên có ít nhất một c nguyên dương để ac+1 và bc+1 cũng là số chính phương.(??!)
cái này phải sai tới 99,99%.Bạn nào giải được thì hướng dẫn mình kĩ kĩ tí nhá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-05-2012 - 17:50

[perfectstrong]

Lời giải:
Do gt nên $ab+1=k^2(k \in \mathbb{N}^*$
Chọn $c=a+b+2k \in \mathbb{N}^*$
$\Rightarrow ac+1=a^2+2ak+ab+1=a^2+2ak+k^2=(a+k)^2$
$bc+1=b^2+2bk+ab+1=b^2+2bk+k^2=(b+k)^2$
Ta có đpcm.

[tubmt97]

Làm sao để được c=a+b+2k?
Anh giải thích rõ được không?

[perfectstrong]

Làm sao để được c=a+b+2k?
Anh giải thích rõ được không?

Cái này cũng 1 phần là do mò
$ab+1=k^2 \Leftrightarrow ab=k^2-1=(k-1)(k+1)$
Giả sử $a=\dfrac{k-1}{d};b=d(k+1)$ với $d|k-1$. Thế vào tìm $c$.
Hoặc $a=\dfrac{k+1}{d}lb=d(k-1)$ với $d|k+1$.