Chủ đề này có 4 trả lời

[Nguyễn Trung Nghĩa]

1. Cho $x,y,z\geq 1$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$
CMR: $\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$

2. Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a+b+c=3
CMR: $P=(a-b)(b-c)(c-a)\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. Giải phương trình: $\frac{2012x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2012}+x^{2}}{2011}=2012$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 01-06-2012 - 22:50

[Crystal]

Bài 3: http://diendantoanho...showtopic=63824

Ispectorgadget: Bài 2 tham khảo ơ đây
http://diendantoanho...showtopic=73284

[hoa_giot_tuyet]

1. Cho $x,y,z\geq 1$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$
CMR: $\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1+\sqrt{z-1}}$

Đề bài này sai r`, phải là
$\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$

[BlackSelena]

Trước hết ta chứng minh bổ đề phụ:
$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq \sqrt{3(a+b+c)}$

$\leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt {c})^2 \leq 3(a+b+c)$
$\leftrightarrow (a'+b'+c')^2 \leq 3(a'^2+b'^2+c'^2)$(BDT quen thuộc )
(đặt $a'=\sqrt{a}$ và tương tự với b ,c)
Áp dụng vào bài toán :
Cũng như trên , coi (x-1) =a , (y-1) =b (z-1)=c
$\rightarrow \sqrt{3(x+y+z-3)}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$
$\rightarrow \sqrt{3(x+y+z)-9}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$
Mà từ giả thiết $\rightarrow 2 \ge \frac{9}{x+y+z}$
$\rightarrow 2(x+y+z) \ge \ 9 $( x+y+z >0)
vậy $\sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{3(x+y+z)-9}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$
Q.E.D

sao suy ra được vậy hả bạn ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 01-06-2012 - 22:27

[hoa_giot_tuyet]

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = 2 \Rightarrow 1-\frac{1}{x}+1-\frac{1}{y}+1-\frac{1}{z}=1$
$\Rightarrow \frac{x-1}{x} + \frac{y-1}{y} + \frac{z-1}{z} = 1$

Bunia

$( \frac{x-1}{x} + \frac{y-1}{y} + \frac{z-1}{z} )(x+y+z) \geq (\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2$

$\Rightarrow \sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$

=> dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 01-06-2012 - 23:11