Chủ đề này có 4 trả lời

[Tran Hong Tho]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=1. Chứng minh rằng:
$ 5(a^2+b^2+c^2)\leq 6(a^3+b^3+c^3)+1$
MOD: Gõ tiêu đề cho cẩn thận nhé!


xin lỗi mình đánh nhầm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hong Tho: 04-06-2012 - 16:38

[Tru09]

Tớ nghĩ đề bài phải là số thực dương vì nếu không phải thì thử thay a=(-1) ,b=1,c=1 vào mà xem
$\rightarrow 15 \leq 7$ ( luôn sai) :|

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 03-06-2012 - 22:47

[trungdung97]

bài toán này tưởng khó nhưng khá đơn giản sau một phép biển đổi nhỏ
thách đấu hải châu mit hâm chuoi hà vy
---------
BQT: SPAM BẠN NHÉ! NẾU CÒN TÁI PHẠM THÌ BÀI VIẾT BỊ XÓA + TREO NICK.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungdung97: 05-06-2012 - 15:53

[WhjteShadow]

Ta có $5(a^2+b^2+c^2)\leq 6(a^3+b^3+c^3)+1$
$\Leftrightarrow 5(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\leq 6(a^3+b^3+c^3)+(a+b+c)^3$ (Do $a+b+c=1$)
$\Leftrightarrow 5[a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\leq 6(a^3+b^3+c^3)+[a^3+b^3+c^3+3(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))+6abc]$
$\Leftrightarrow 2[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\leq 2(a^3+b^3+c^3+3abc)$
$\Leftrightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\leq a^3+b^3+c^3+3abc$
(BĐT Schur-Đúng)
Vậy bài toán đc c/m T.T

[trungdung97]

5(a²+b²+c²)=5(a²+b²+c²)(a+b+c)=5(a³+b³+c³)+5ab(1-c)+5bc(1-a)+5ac(1-b) suy ra bất đẳng thức đã cho tương đương a³+b³+c³+15abc+1≥5(ab+ac+bc) mà ta có

1=(a+b+c)³=a³+b³+c³+3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc suy ra a³+b³+c³=1+3abc-3(ab+ac+bc) thay vào ta có
9abc+1≥4(ab+ac+bc) tương đương bất đẳng thức abc≥(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) luôn đúng do áp dụng bất đẳng thức schur bậc 3 vậy bài toán đpcm