Chủ đề này có 9 trả lời

[Poseidont]

Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ,ta có bất đẳng thức
$\frac{a}{9ab+(a+b+c)^2}+\frac{b}{9cb+(a+b+c)^2}+\frac{c}{9ac+(a+b+c)^2}\geq \frac{1}{2(a+b+c)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 14-06-2012 - 10:39

[WhjteShadow]

C1: Chuẩn hóa $a+b+c=3$
BĐT $$\Leftrightarrow \frac{a}{9ab+9}+\frac{b}{9bc+9}+\frac{c}{9ca+9} \geq \frac{1}{6}$$
$$\Leftrightarrow \frac{a}{ab+1}+\frac{a}{ab+1}+\frac{a}{ab+1} \geq \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow 3- (\frac{a}{ab+1}+\frac{a}{ab+1}+\frac{a}{ab+1}) \leq \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow (a- \frac{a}{ab+1})+(b- \frac{b}{bc+1})+(c- \frac{c}{ca+1}) \leq \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{a^2b}{ab+1}+\frac{b^2c}{bc+1}+\frac{c^2a}{ca+1} \leq \frac{3}{2}$$
Áp dụng bđt cô si ở dưới mẫu mỗi phân thức ta có:
$$\frac{a^2b}{ab+1}+\frac{b^2c}{bc+1}+\frac{c^2a}{ca+1}\leq \frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}+\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}+\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}$$
$$=\frac{\sqrt{a^3b}}{2}+\frac{\sqrt{b^3c}}{2}+\frac{\sqrt{c^3a}}{2}$$
Nên ta chỉ cần c/m $$\frac{\sqrt{a^3b}}{2}+\frac{\sqrt{b^3c}}{2}+\frac{\sqrt{c^3a}}{2}\leq\frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a} \leq 3$$
Với $a+b+c=3$
Áp dụng BĐT $$(x^2+y^2+z^2)^2 \ge 3(x^3y+y^3z+z^3x)$$
(Chứng minh ở: http://diendantoanho...=0)
Ta được:
$$\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a} \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$$
Vậy ta có đpcm
C2 ch0 những bạn không thích chuẩn hóa ^^:
Ta có:
$$A=(a+b+c)(\frac{a}{9ab+(a+b+c)^2}+\frac{b}{9bc+(a+b+c)^2}+\frac{c}{9ca+(a+b+c)^2})$$
$$=\frac{a(a+b+c)}{9ab+(a+b+c)^2}+\frac{b(a+b+c)}{9bc+(a+b+c)^2}+\frac{c(a+b+c)}{9ca+(a+b+c)^2}$$
$$=\frac{1}{\frac{9b}{a+b+c}+\frac{a+b+c}{a}}+\frac{1}{\frac{9c}{a+b+c}+\frac{a+b+c}{a}}+\frac{1}{\frac{9a}{a+b+c}+\frac{a+b+c}{b}}$$
Đặt $\frac{3a}{a+b+c}=x$, $\frac{3b}{a+b+c}=y$, $\frac{3c}{a+b+c}=z$

Suy ra $x+y+z=3$

Vậy ta lại dưa bài toán về c/m như cách 1 T.T

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 15-06-2012 - 16:39

[kainguyen]

C1: Chuẩn hóa $a+b+c=3$
BĐT $$\Leftrightarrow \frac{a}{9ab+9}+\frac{b}{9bc+9}+\frac{c}{9ca+9} \geq \frac{1}{6}$$
$$\Leftrightarrow \frac{a}{ab+1}+\frac{a}{ab+1}+\frac{a}{ab+1} \geq \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow 3- (\frac{a}{ab+1}+\frac{a}{ab+1}+\frac{a}{ab+1}) \leq \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow (a- \frac{a}{ab+1})+(b- \frac{b}{bc+1})+(c- \frac{c}{ca+1}) \leq \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{a^2b}{ab+1}+\frac{b^2c}{bc+1}+\frac{c^2a}{ca+1} \leq \frac{3}{2}$$
Áp dụng bđt cô si ở dưới mẫu mỗi phân thức ta có:
$$\frac{a^2b}{ab+1}+\frac{b^2c}{bc+1}+\frac{c^2a}{ca+1}\leq \frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}+\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}+\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}$$
$$=\frac{\sqrt{a^3b}}{2}+\frac{\sqrt{b^3c}}{2}+\frac{\sqrt{c^3a}}{2}$$
Nên ta chỉ cần c/m $$\frac{\sqrt{a^3b}}{2}+\frac{\sqrt{b^3c}}{2}+\frac{\sqrt{c^3a}}{2}\leq\frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a} \leq 3$$
Với $a+b+c=3$
Áp dụng BĐT $$(x^2+y^2+z^2)^2 \ge 3(x^3y+y^3z+z^3x)$$
(Chứng minh ở: http://diendantoanho...=0)
Ta được:
$$\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a} \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$$
Vậy ta có đpcm

Cho mình hỏi 1 chút, trong cách 1 của bạn, bđt kiểu này không thuần nhất thì không được chuẩn hóa thì phải. Hay bạn cho mình biết bđt dạng nào thì được chuẩn hóa, cái này mình chưa rõ lắm

(Lúc đầu nhìn con này cũng định chuẩn hóa, mở sách ra xem thì lại không được )

[Ispectorgadget]

Cho mình hỏi 1 chút, trong cách 1 của bạn, bđt kiểu này không thuần nhất thì không được chuẩn hóa thì phải. Hay bạn cho mình biết bđt dạng nào thì được chuẩn hóa, cái này mình chưa rõ lắm

(Lúc đầu nhìn con này cũng định chuẩn hóa, mở sách ra xem thì lại không được )

Tham khảo ở đây

[nthoangcute]

Cho mình hỏi 1 chút, trong cách 1 của bạn, bđt kiểu này không thuần nhất thì không được chuẩn hóa thì phải. Hay bạn cho mình biết bđt dạng nào thì được chuẩn hóa, cái này mình chưa rõ lắm

(Lúc đầu nhìn con này cũng định chuẩn hóa, mở sách ra xem thì lại không được )

Chào bạn, mình là bạn của WhjteShadow (Cũng là người Viết $\LaTex$ hộ)
Một BĐT được chuẩn hóa nếu BĐT đúng với $(a,b,c)$ thì cũng đúng với $(ka,kb,kc)$
_____________
Trả lời hộ Đạt Giang hồ

[WhjteShadow]

Chào bạn, mình là bạn của WhjteShadow (Cũng là người Viết $\LaTex$ hộ)
Một BĐT được chuẩn hóa nếu BĐT đúng với $(a,b,c)$ thì cũng đúng với $(ka,kb,kc)$
_____________
Trả lời hộ Đạt Giang hồ

T.T Tình nguyện Viên phải gõ $Latex$ hộ chứ.CHiều đi học về sang nhà t gõ $Latex$ thêm mấy bài nữa nhé,vừa nghĩ ra )
Mình lười thật T.T

[Apollo Second]

T.T Tình nguyện Viên phải gõ $Latex$ hộ chứ.CHiều đi học về sang nhà t gõ $Latex$ thêm mấy bài nữa nhé,vừa nghĩ ra )
Mình lười thật T.T

Cái này hình như không chuẩn hóa được thì phải , vì ta thấy bật tử nhỏ hơn bậc mẩu vậy ta chuẩn hóa thế nào đây @@! Mình bó tay !! Bạn có thể nói cụ thể cách chuẩn hóa của bạn không ??
làm ra luôn tốn vài dòng hà tkz so much
nếu mình chuẩn hóa nó thì được thế này
$\sum \frac{x}{9xy+1}\geq \frac{1}{2},x+y+z=1$
nếu vậy thì BĐT này bị ngược đấu sao :-s @@! (dốt BĐT )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Apollo Second: 24-06-2012 - 22:15

[WhjteShadow]

Bạn ơi không phải là xét bậc của tử < mẫu đâu mà đây là 1 bđt đồng bậc.Cả VP và VT đều là bậc -1 nên ta có thể chuẩn hóa;Bạn tham khảo cái này thử xem:

http://diendantoanho...79

[Apollo Second]

Bạn ơi không phải là xét bậc của tử < mẫu đâu mà đây là 1 bđt đồng bậc.Cả VP và VT đều là bậc -1 nên ta có thể chuẩn hóa;Bạn tham khảo cái này thử xem:

http://diendantoanho...79

uhm ^^ , nhưng khi đống hóa ta cần phải chuyển cái $(a+b+c)$ bên kia lên để đồng nhất bậc , đó là qui tắc của chuẩn hóa mừ @@!
nếu không bạn chuẩn hóa thế nào vậy ?? ghi giúp mình máy dòng đi ^^ mù BĐT mà :0 tkz nhìu nhìu ^^

[nthoangcute]

uhm ^^ , nhưng khi đống hóa ta cần phải chuyển cái $(a+b+c)$ bên kia lên để đồng nhất bậc , đó là qui tắc của chuẩn hóa mừ @@!
nếu không bạn chuẩn hóa thế nào vậy ?? ghi giúp mình máy dòng đi ^^ mù BĐT mà :0 tkz nhìu nhìu ^^

Khi BĐT đùng với $(a,b,c)$ thì BĐT cũng đúng với $(ka,kb,kc)$ với $k \neq 0$
Thì tức là được chuẩn hóa