Chủ đề này có 5 trả lời

[tranvandung19972012]

Bài 1:Tìm tất cả các stn x,y tm: $x^{3}$ -$x^{2}$ -2xy = $y^{3}$ + y^${2}$ +100

Bài 2: Xác định n để: A=$n^{4}$ -3 $n^{2}$ +1 là nguyên tố

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của pt:
A.. $x^{6}$ +3$x^{3}$ +1 = $y^{4}$
B.. $x^{2}$ - 6xy +13$y^{2}$ = 100

Bài 4: Gọi S_(n) là tổng các chử số của stn n
Tìm n biết: n + S_(n) = 2012

[nthoangcute]

Bài 1:Tìm tất cả các stn $x,y$ tm: $x^3 -x^2 -2xy = y^3 + y^2 +100$

Bài 2: Xác định n để: A=$n^4 -3 n^2 +1$ là nguyên tố

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của pt:
A.. $x^6 +3x^3 +1 = y^4$
B.. $x^2 - 6xy +13y^2 = 100$

Bài 4: Gọi $S(n)$ là tổng các chử số của stn n
Tìm n biết: $n + S(n) = 2012$

Bài 1: $x^3 -x^2 -2xy = y^3 + y^2 +100$ Hình như sai đề, hoặc là mình không thể làm được
Bài 2: $$n^4 -3 n^2 +1=(n^2+n-1)(n^2-n-1)$$
suy ra $n^2+n-1=1$, $n^2-n-1$ là số nguyên tố
hoặc $n^2-n-1=1$, $n^2+n-1$ là số nguyên tố
hoặc $n^2+n-1=-1$, $-(n^2-n-1)$ là số nguyên tố
hoặc $n^2-n-1=-1$, $-(n^2+n-1)$ là số nguyên tố
Từ đó suy ra $n=-2$ hoặc $n=2$

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của pt:
A.. $x^6 +3x^3 +1 = y^4$
B.. $x^2 - 6xy +13y^2 = 100$

Bài 4: Gọi $S(n)$ là tổng các chử số của stn n
Tìm n biết: $n + S(n) = 2012$

Bài 3:
a) $x^6+3x^3+1=y^4$
Đặt $x^3=t$
Suy ra $t^2+3t+1-y^4=0$
Để pt có nghiệm nguyên mà các hệ số đều nguyên suy ra $\Delta$ là số chính phương
Suy ra $5+4y^4=k^2$ với $k$ nguyên dương
Suy ra $(k-2y^2)(k+2y^2)=5$
Từ đây ta suy ra $k-2y^2=1$ và $k+2y^2=5$
Suy ra $y^2=1$ suy ra $y = \pm 1$
Xét $y=\pm 1$ suy ra $x=0$
Vậy $(x,y)=(0,1);(0,-1)$
b) $x^2 - 6xy +13y^2 = 100$
Suy ra $x^2 - 6xy +13y^2 - 100=0$
Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $x$ suy ra $\Delta$ là số chính phương
Suy ra $400-16y^2$ là số chính phương
Hay $25-y^2$ là số chính phương
Vì $25-y^2 \leq 25$
Suy ra $25-y^2 \in \{0,1,4,9,16,25 \}$
Suy ra $y \in \{0,-3,3,-4,4,-5,5}$
Từ đó ta được $x$ tương ứng
Vậy $(x,y)=(10,0);(-10,0);(17,3);(1,3);(-17,-3);(-1,-3);(18,4);(6,4);(-18,-4);(-6,-4);(15,5);(-15,-5)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 14-06-2012 - 23:13

[nguyenta98]

Bài 1:Tìm tất cả các stn x,y tm: $x^{3}$ -$x^{2}$ -2xy = $y^{3}$ + y^${2}$ +100

Bài 2: Xác định n để: A=$n^{4}$ -3 $n^{2}$ +1 là nguyên tố

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của pt:
A.. $x^{6}$ +3$x^{3}$ +1 = $y^{4}$
B.. $x^{2}$ - 6xy +13$y^{2}$ = 100

Bài 4: Gọi S_(n) là tổng các chử số của stn n
Tìm n biết: n + S_(n) = 2012

Hì hì bài này sao phải vất vả thế làm gì
Giải như sau:
Bài 1:
$x^3-x^2-2xy=y^3+y^2+100$
$\Rightarrow (x^3-y^3)-2xy-(x^2+y^2)=100$
$\Rightarrow (x-y)^3+3xy(x-y)-2xy-[(x-y)^2+2xy]=100$
$\Rightarrow (x-y)^3+3xy(x-y)-4xy-(x-y)^2=100$
Đặt $(x-y)=a$ và $xy=b$
Suy ra
$a^3+3ab-4b-a^2=100 \Rightarrow a^3+b(3a-4)-a^2=100$
$\Rightarrow 27a^3+27b(3a-4)-27a^2=2700$
$\Rightarrow [(3a)^3-4^3]+27b(3a-4)-[3(3a)^2-3.4^2]=2684$
$\Rightarrow (3a-4)(9a^2+12a+16)+27b(3a-4)-3(3a-4)(3a+4)=2684$
$\Rightarrow (3a-4)(9a^2+12a+16+27b-3(3a+4))=2684$
Đến đây ra phương trình ước số dễ rồi, xét ước $2684$ thôi tìm được $a,b$ hay tìm được $x-y$ và $xy$ ta sẽ tìm được $x,y$

Bài 3:
A. anh nthoangcute đã làm rất hay nhưng ngoài ra cũng có cách đánh giá (kẹp giữa 2 số cp liên tiếp)
B. Cách giải khác
$x^2-6xy+13y^2=100 \Leftrightarrow (x-3y)^2+(2y)^2=100$
Tổng các số chính phương bằng $100$ là $100=10^2+0^2=6^2+8^2$ đến đây xét tương ứng $(x-3y)$ và $2y$ thôi cũng ra đủ nghiệm như anh nthoangcute

Bài 4:
Nx: $n$ có dạng $\overline{abcd}$ do nếu giả sử $n$ có 3 cs suy ra $n+S(n)\le 999+(9+9+9)<2012$
Còn do $n+S(n)=2012 \Rightarrow n\le 2012$
Cho nên $n=\overline{abcd}$
Suy ra ta có phương trình $\overline{abcd}+a+b+c+d=2012 \Rightarrow 1001a+101b+11c+2d=2012$
Nếu $a=2 \rightarrow b=0,c=0.d=5$ suy ra $n=2005$
Nếu $a=1 \rightarrow 101b+11c+2d=2012-1001=1011$
Do đó $b=9$ vì nếu $b\le 8 \rightarrow 101b+11c+2d \le 101.8+11.9+2.9<1011$
Suy ra $b=9 \rightarrow 11c+2d=102$ và có ngay $c=8,9$ vì nếu $c\le 7 \rightarrow 11c+2d\le 11.7+2.9<102$
Nếu $c=8 \rightarrow c=7$ suy ra $n=1987$
Nếu $c=9$ loại do $2d$ chẵn và $102$ chẵn
Vậy $\boxed{n=2005,1987}$

[nthoangcute]

Bài 4: Gọi $S(n)$ là tổng các chử số của stn n
Tìm n biết: $n + S(n) = 2012$

Ta có:
Vì $n$ là số tự nhiên
Suy ra $S(n)$ là số tự nhiên
Suy ra $n<2012$
Suy ra $S(n) \leq 1+9+9+9=28$
Suy ra $n=2012-S(n) \geq 1984$
Ta thấy: $n-S(n)$ luôn chia hết cho 9 với $n$ là số tự nhiên
Suy ra $n+S(n)-2S(n) \vdots 9$
Hay $2012-2S(n) \vdots 9$
Suy ra $1006-S(n) \vdots 9$
Suy ra $S(n)$ chia cho 9 dư 7
Mà $S(n) \leq 28$
Suy ra $S(n)=7;16;25$
Từ đó suy ra $n$ tương ứng là $2005;1996;1987$
Từ đó suy ra chỉ có $n=2005$ hoặc $n=1987$ thỏa mãn
________
Post chậm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 14-06-2012 - 23:04

[thedragonknight]

Bài 4: Rõ ràng n ko phải là số có 1;2;3 chữ số.
n có thể là số có 4 chữ số nhưng n lại ko thể là số có 5 chữ số trở lên
Đặt $n=\overline{abcd}$
Ta đc:
Vt=$1001a+101b+11c+2d=2012$
Suy ra $1001a\leq 2012$$\Rightarrow a=1;2$
Xét a=1 thì:
101b+11c+2d=1011
Suy ra $11c+2d\geq 1011-101b\geq 1011-101.9=102$
Mặt khác:$11c+2d\leq 11.9+2.9=117$
Mà $11c+2d=1011=101b\equiv 1(mod101)$
Nên 11c+2d=102
Từ đó b=9
Ta có $3\leq 2d\leq 18$
Mà $11c=102-2d\vdots 11$ Và $102\equiv 3(mod11)$$\Rightarrow 2d\equiv 3(mod11)\Rightarrow 2d=14$(vì 2c=3 thì c ko phải là tự nhiên)
Suy ra c=8 và d=7
Xét a=2 thì
101b+11c+2d=10$\Rightarrow b=0$ và c=0.
Từ đó d=5
Vậy có 2 số n thỏa mãn đề bài là 1987 và 2005

[nthoangcute]

Hì hì bài này sao phải vất vả thế làm gì
Giải như sau:
Bài 1:
$x^3-x^2-2xy=y^3+y^2+100$
$\Rightarrow (x^3-y^3)-2xy-(x^2+y^2)=100$
$\Rightarrow (x-y)^3+3xy(x-y)-2xy-[(x-y)^2+2xy]=100$
$\Rightarrow (x-y)^3+3xy(x-y)-4xy-(x-y)^2=100$
Đặt $(x-y)=a$ và $xy=b$
Suy ra
$a^3+3ab-4b-a^2=100 \Rightarrow a^3+b(3a-4)-a^2=100$
$\Rightarrow 27a^3+27b(3a-4)-27a^2=2700$
$\Rightarrow [(3a)^3-4^3]+27b(3a-4)-[3(3a)^2-3.4^2]=2684$
$\Rightarrow (3a-4)(9a^2+12a+16)+27b(3a-4)-3(3a-4)(3a+4)=2684$
$\Rightarrow (3a-4)(9a^2+12a+16+27b-3(3a+4))=2684$
Đến đây ra phương trình ước số dễ rồi, xét ước $2684$ thôi tìm được $a,b$ hay tìm được $x-y$ và $xy$ ta sẽ tìm được $x,y$

Có thể làm tiếp như sau:
Vì $2684=2^2.11.61$ mà $3a-4$ chia cho 3 dư 2 nên $3a-4$ có thể là: $122;671;44;2684$
Xét $3a-4=122$ suy ra $a=42$ và $9a^2+12a+16+27b-3(3a+4)=22$
Suy ra $(a,b)=(42,-592)$
Suy ra $\left\{\begin{matrix}
x-y=42\\
xy=-592
\end{matrix}\right.$
Hệ phương trình này vô nghiệm
Xét $3a-4=671$ suy ra $a=225$ và $9a^2+12a+16+27b-3(3a+4)=44$
Suy ra $(a,b)=(225,-16900)$
Suy ra $\left\{\begin{matrix}
x-y=225\\
xy=-16900
\end{matrix}\right.$
Hệ phương trình này vô nghiệm

Xét $3a-4=44$ suy ra $a=16$ và $9a^2+12a+16+27b-3(3a+4)=61$
Suy ra $(a,b)=(44,-85)$
Suy ra $\left\{\begin{matrix}
x-y=44\\
xy=-85
\end{matrix}\right.$
Hệ phương trình này có nghiệm nhưng là nghiệm vô tỉ nên loại

Xét $3a-4=2684$ suy ra $a=896$ và $9a^2+12a+16+27b-3(3a+4)=1$
Suy ra $(a,b)=(896,-267705)$
Suy ra $\left\{\begin{matrix}
x-y=896\\
xy=-267705
\end{matrix}\right.$
Hệ phương trình này vô nghiệm
Vậy không tồn tại $x,y$ nguyên thỏa mãn đề bài
______
P/s: Làm bài 4 kiểu gì mà kinh thế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 14-06-2012 - 23:27