Chủ đề này có 3 trả lời

[Beautifulsunrise]

Tìm số nguyên t lớn nhất biết rằng với các số nguyên dương x, y, z ta có: $\left\{\begin{matrix} x^3+y^3+z^3=3^t & \\ x+y+z=6& \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 15-06-2012 - 17:09

[nguyenta98]

Tìm số nguyên t lớn nhất biết rằng với các số nguyên dương x, y, z ta có: $\left\{\begin{matrix} x^3+y^3+z^3=3^t & \\ x+y+z=6& \end{matrix}\right.$

Giải như sau:
Áp dụng BDT: $x^3+y^3+z^3\le (x+y+z)^3 \Rightarrow 3^t\le 6^3 \Rightarrow t\le 4$
Và áp dụng BDT: $x^3+y^3+z^3 \geq \dfrac{(x+y+z)^3}{9} \Rightarrow 3^t\geq 24 \Rightarrow t\geq 3$
Do đó $t=3,4$
Ngoài ra ta còn có $(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)=3(x+y)(y+z)(z+x)$
TH1: $t=3 \Rightarrow 3(x+y)(y+z)(z+x)=6^3-3^3=189 \Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=63$
Vì $x.y.z$ nguyên dương nên $x+y,y+z,z+x\geq 2$ mà $63=3.3.7$
Khi ấy $(x+y)+(y+z)+(z+x)=3+3+7=13 \Rightarrow 2(x+y+z)=13$ vô lý
TH2: $t=4 \Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=45$ lý luận tương tự như trên $45=3.3.5$
Nhưng khi ấy $(x+y)+(y+z)+(z+x)=3+3+5=11 \rightarrow 2(x+y+z)=11$ loại
Vậy không có $t$ thỏa mãn

[Beautifulsunrise]

Tìm số nguyên t biết rằng với các số nguyên dương x, y, z ta có:
$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3+z^3=3^t & \\ 3x+y^2+z^2=xyz& \\ Max\left \{ x, y, z \right \}\leq 28& \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 15-06-2012 - 22:10

[Beautifulsunrise]

Giải như sau:
Áp dụng BDT: $x^3+y^3+z^3\le (x+y+z)^3 \Rightarrow 3^t\le 6^3 \Rightarrow t\le 4$
Và áp dụng BDT: $x^3+y^3+z^3 \geq \dfrac{(x+y+z)^3}{9} \Rightarrow 3^t\geq 24 \Rightarrow t\geq 3$
Do đó $t=3,4$
Ngoài ra ta còn có $(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)=3(x+y)(y+z)(z+x)$
TH1: $t=3 \Rightarrow 3(x+y)(y+z)(z+x)=6^3-3^3=189 \Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=63$
Vì $x.y.z$ nguyên dương nên $x+y,y+z,z+x\geq 2$ mà $63=3.3.7$
Khi ấy $(x+y)+(y+z)+(z+x)=3+3+7=13 \Rightarrow 2(x+y+z)=13$ vô lý
TH2: $t=4 \Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=45$ lý luận tương tự như trên $45=3.3.5$
Nhưng khi ấy $(x+y)+(y+z)+(z+x)=3+3+5=11 \rightarrow 2(x+y+z)=11$ loại
Vậy không có $t$ thỏa mãn

Cách 2: Giả sử 0< x $\leq$ y$\leq$z => 3x $\leq$ 6 => x = 1;2.

- Nếu x = 1 thì làm tương tự y = 1;2 t/ứ z = 4;3 => vô lý.

- Nếu x = 2 thì làm tương tự y = 2; z = 2 => vô lý.

Cách 3: Bổ đề: Lập phương của 1 số tự nhiên khi chia cho 9 chỉ có thể

dư 0 hoặc 1 hoặc 8. Ta có t $ \geq$ 1.

- Khi t = 1 => x = y = z = 1 => vô lý.

- Khi t $\geq$ 2 thì $x^3+y^3+z^3 \vdots$ 9 => ít nhất 1 trong ba số x, y, z phải có 1 số chia hết cho 9 (theo bổ đề) => Vô lý.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 15-06-2012 - 20:37