Chủ đề này có 1 trả lời

[Lnmn179]

Tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 100 đc viết theo thứ tự liên tiếp từ nhỏ đến lớn và làm thành một số sau đây :

123456789101112...949596979899100.

Bằng cách đặt dấu cộng (+) vào giữa hai chữ số nào đó của số trên ta đc một tổng của hai số. CMR tổng của hai số đó không chia hết cho 1989.

[NLT]

Tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 100 đc viết theo thứ tự liên tiếp từ nhỏ đến lớn và làm thành một số sau đây :

123456789101112...949596979899100.

Bằng cách đặt dấu cộng (+) vào giữa hai chữ số nào đó của số trên ta đc một tổng của hai số. CMR tổng của hai số đó không chia hết cho 1989.

$\boxed{\text{NLT_CL}}$ Solution:
Đặt $A=12345678910111213......979899100$
Giả sử: $123456789....100= m+n$ (Với $m = \overline {123456...p} ;n = \overline {\left( {p + 1} \right)\left( {p + 2} \right)...100} $; $1<p<100$, p tự nhiên ).
Và: $S\left( a \right)$ là tổng các chữ số của a (a tự nhiên).
Dễ thấy: $S\left( a \right) \equiv a\left( {\bmod 3} \right)\left( {a \in N} \right)$
Cho nên: $\begin{array}{l}
{\rm{m}} + {\rm{n}} \equiv S\left( m \right) + S\left( n \right) = S\left( A \right) = 1 + 2 + 3 + ... + 9 + \left( {1 + 0} \right) + \left( {1 + 1} \right) + \left( {1 + 2} \right) + ... + \left( {9 + 8} \right) + \left( {9 + 9} \right) + 1 + 0 + 0 \\
\equiv 1 + 2 + 3 + ... + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + ... + 99 + 100 \\
\equiv 50.101 \equiv 1\left( {\bmod 3} \right) \\
\end{array}$
Suy ra $m+n$ không chia hết cho 3 => $m+n$ không chia hết cho 1989 $(Q.E.D)$.
$\boxed{\textit{The problem is completely solved...}}$
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 16-06-2012 - 17:37