Chủ đề này có 3 trả lời

[banhgaongonngon]

Cho a, b, c > 0. CMR: $\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(1-c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(1-a)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

[NLT]

Cho a, b, c > 0. CMR: $\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(1-c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(1-a)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\boxed{\text{NLT_CL}}$ Solution:
Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có:
$\sqrt {{a^2} + {{\left( {1 - b} \right)}^2}} \ge \sqrt {\frac{{{{\left( {a - b + 1} \right)}^2}}}{2}} = \frac{{\begin{vmatrix}
a-b+1
\end{vmatrix}}}{{\sqrt 2 }} \geq \frac{a-b+1}{\sqrt{2}}$
Tương tự: $\sqrt {{b^2} + {{\left( {1 - c} \right)}^2}} \ge \frac{{b - c + 1}}{{\sqrt 2 }}$
$\sqrt {{c^2} + {{\left( {1 - a} \right)}^2}} \ge \frac{{c - a + 1}}{{\sqrt 2 }}$
Cộng vế theo vế 3 bđt ta có $Q.E.D$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=0,5$.
$\boxed{\textit{The problem is completely solved ...}}$
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 17-06-2012 - 14:01

[nthoangcute]

$\boxed{\text{NLT_CL}}$ Solution:
Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có:
$\sqrt {{a^2} + {{\left( {1 - b} \right)}^2}} \ge \sqrt {\frac{{{{\left( {a - b + 1} \right)}^2}}}{2}} = \frac{{a - b + 1}}{{\sqrt 2 }}$.
Tương tự: $\sqrt {{b^2} + {{\left( {1 - c} \right)}^2}} \ge \frac{{b - c + 1}}{{\sqrt 2 }}$
$\sqrt {{c^2} + {{\left( {1 - a} \right)}^2}} \ge \frac{{c - a + 1}}{{\sqrt 2 }}$
Cộng vế theo vế 3 bđt ta có $Q.E.D$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=0,5$.
$\boxed{\textit{The problem is completely solved ...}}$
___

Nhầm một tị nhưng không sao:

$$\sqrt {{a^2} + {{\left( {1 - b} \right)}^2}} \ge \sqrt {\frac{{{{\left( {a - b + 1} \right)}^2}}}{2}} = \frac{{\begin{vmatrix}
a-b+1
\end{vmatrix}}}{{\sqrt 2 }} \geq \frac{a-b+1}{\sqrt{2}}$$
___
$\boxed{\text{NLT_CL}}$: Đã edit, cảm ơn cậu!

nthoangcute: Không có gì, bạn bè mà !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 17-06-2012 - 13:47

[nguyenta98]

Cho a, b, c > 0. CMR: $\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(1-c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(1-a)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Một cách giải khác
Giải như sau:
Áp dụng BDT Minkovski ta có
$\sum{\sqrt{a^2+(1-b)^2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^2+(3-(a+b+c))^2}\geq \sqrt{\dfrac{(a+b+c+3-(a+b+c))^2}{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ suy ra đpcm
Dấu $=$ khi $a=b=c=0,5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 17-06-2012 - 13:59