Chủ đề này có 7 trả lời

[Apollo Second]

mình đưa ra 2 bài cho mọi người cùng chém nhá
Bài 1:
với: $a+b+c=3$
CM: $\sum \frac{a}{b+c^2}\geq \frac{3}{2}$

Bài 2:
với: $a^2+b^2+c^2=3$
CM: $\sum \frac{a^2}{b^4+c}\geq \frac{3}{2}$
hai bài này cũng tương tự nhau thoy hy vọng sớm có nhìu cách giải hay , tkz các bạn !!

[le_hoang1995]

mình đưa ra 2 bài cho mọi người cùng chém nhá
Bài 1:
với: $a+b+c=3$
CM: $\sum \frac{a}{b+c^2}\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng BĐT BCS ta có
$$VT\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca+a^2c+c^2b+b^2a}$$
Ta cần chứng minh $ab+bc+ca+a^2c+c^2b+b^2a\leq 6$

Thật vậy, theo AM-GM ta có

$$ab+bc+ca+a^2c+c^2b+b^2a\leq ab+bc+ca+a^{3}+b^{3}+c^{3}$$
$$=ab+bc+ca+(a+b+c)[a^{2}+b^{2}+c^{2}-(ab+bc+ca)]+3abc$$
$$=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(ab+bc+ca)+(a+b+c)abc$$
$$\leq 3(a+b+c)^{2}-8(ab+bc+ca)+\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}=27-8(ab+bc+ca)+\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3} $$
$$=\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}-24(ab+bc+ca)+81}{3} =\dfrac{(ab+bc+ca-12)^{2}}{3}-21$$
$$\leq\dfrac{(\dfrac{(a+b+c)^{2}}{3}-12)^{2}}{3}-21=6$$
Thay vào BĐT trên ta được
$$VT\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca+a^2c+c^2b+b^2a}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 25-06-2012 - 18:00

[Didier]

Bài trên của bạn có vấn đè ở đoạn cuối
$ab+bc+ca\leq 3 \Rightarrow ab+bc+ca-12< 0$ vì vậy
$(ab+bc+ca-12)^{2}\geq (\frac{(a+b+c)^{2}}{3}-12)^{2}$

[Apollo Second]

mình thấy hơi có vấn đề tí , bạn canh fix lại cho Uki hết lun đi !!

[le_hoang1995]

Nếu thế thì đến chỗ $$ab+bc+ca+a^2c+c^2b+b^2a\leq 27-8(ab+bc+ca)+\frac{(ab+bc+ca)^2}{3}=27-8t+\frac{t^2}{3}$$
Với $t \leq 3$
Khảo sát hàm số $f(t)$ sẽ suy ra $f(t) \leq 6$

[Apollo Second]

Nếu thế thì đến chỗ $$ab+bc+ca+a^2c+c^2b+b^2a\leq 27-8(ab+bc+ca)+\frac{(ab+bc+ca)^2}{3}=27-8t+\frac{t^2}{3}$$
Với $t \leq 3$
Khảo sát hàm số $f(t)$ sẽ suy ra $f(t) \leq 6$

bạn ui THSC mà sao có khảo sát hàm nữa z !! hjx hjx , có cách nào khác nữa không :-s giúp mình với tkz ^^
zới lại có tí vấn đề thì phải bạn ơi xem lại giúp @@!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Apollo Second: 25-06-2012 - 20:05

[WhjteShadow]

Nếu thế thì đến chỗ $$ab+bc+ca+a^2c+c^2b+b^2a\leq 27-8(ab+bc+ca)+\frac{(ab+bc+ca)^2}{3}=27-8t+\frac{t^2}{3}$$
Với $t \leq 3$
Khảo sát hàm số $f(t)$ sẽ suy ra $f(t) \leq 6$

A Hoàng ơi đến chỗ chứng minh $27-8t+\frac{t^2}{3}\leq 6$
$\Leftrightarrow (3-t)(21-t)\leq 0$ mà $t\leq 3$
Nên có lẽ cách của a không dùng đc rồi ạ :-s

[tim1nuathatlac]

bài 1
xét trường hợp 1.$a\geq b\geq c$, sd Cauchy-Schwarz ta có$\sum \frac{a}{b^{2}+c}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sum ab^{2}+ab}= \frac{9}{\sum ab^{2}+ab}$
Ta cần Cm$\sum ab^{2}+\sum ab\leq 6$ hay$2\sum a^{3}+3\sum a^{2}b+3abc\geq 6ab^{2}$
BĐT này đúng do
$\sum a^{3}\geq \sum a^{2}b\geq \sum ab^{2}$
$\sum a^{3}+3abc\geq \sum a^{2}b+\sum ab^{2}\geq 2\sum ab^{2}$
Trường hợp 2.$c\geq b\geq a$, BĐT được viết lại như sau $2\sum a^{4}+2\sum a^{2}b^{3}+2\sum a^{2}b^{2}+3abc\geq 3a^{2}b^{2}c^{2}+3\sum ab^{3}+3\sum a^{3}b^{2}$
Ta CM được $\sum a^{4}+2\sum a^{2}b^{2}\geq 3\sum ab^{3}; 1\geq abc$
ta cồn phải cm $\sum a^{4}+2\sum a^{2}b^{3}\geq 3\sum a^{3}b^{2}$ hay $\sum a^{5}+\sum ab\left ( a^{3}+b^{3} \right )+6\sum a^{2}b^{3}\geq 9\sum a^{3}b^{2}$...........BĐT này đúng do $\sum a^{5}\geq \sum a^{2}b^{3}\geq \sum a^{3}b^{2}$
$\sum ab\left ( a^{3}+b^{3} \right )\geq \sum a^{2}b^{2}\left ( a+b \right )= \sum a^{3}b^{2}+\sum a^{2}b^{3}\geq 2\sum a^{3}b^{2}$