Chủ đề này có 10 trả lời

[trungdung97]

Cho a,b,c không âm có tổng bằng 3 .Tìm GTLN của biểu thức A=$\frac{a}{4-c}$+$\frac{b}{4-a}$+$\frac{c}{4-b}$

[tim1nuathatlac]

bài này, chắc Max=1
MOD: Vui lòng giải cụ thể ra nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 28-06-2012 - 20:43

[CD13]

$\frac{a}{4-c}$+$\frac{b}{4-a}$+$\frac{c}{4-b} +\frac{(4-c)a}{9}+\frac{(4-a)b}{9}+\frac{(4-b)c}{9} \geq 2$
Mà$ \frac{(4-c)a}{9}+\frac{(4-a)b}{9}+\frac{(4-b)c}{9}=\frac{12-ab-bc-ca}{9} \geq \frac{12-\frac{(a+b+c)^2}{3}}{9}=1$
$\rightarrow A\geq 1 \leftrightarrow a=b=c=1$

Ngược dấu rồi em!

[tim1nuathatlac]

nhầm rooiooooooooooooooi, phải lafffffffffffffffff
$\sum \frac{a}{a+b+1}$

[Tru09]

$\frac{a}{4-c} +\frac{b}{4-b} +\frac{c}{4-a} +\frac{(4-b)a}{9} +\frac{(4-a)c}{9} \frac{(4-b)c}{9} \geq 2$
Mà $\frac{(4-c)a}{9} +\frac{(4-a)c}{9} \frac{(4-b)c}{9} =\frac{12-ab-bc-ca}{9} \geq \frac{12-\frac{(a+b+c)^2}{3}}{9} =1$
$\rightarrow A \leq 1 \leftrightarrow a=b=c=1$
(p/s đọc ngược đề bài :|)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 29-06-2012 - 08:41

[tim1nuathatlac]

$A= \sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1$, suy ra $\sum \left ( 1-\frac{a}{a+b+1} \right )\geq 2$
$\sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$, mà $\sum \frac{1}{a+b+1}\geq 1$.
Vậy cần CM $\sum \frac{b}{a+b+1}\geq 1$.

đoạn post tiếp

[tim1nuathatlac]

bài nay nhầm rồi bạn.phải là $x^{2}+y^{2}+z^{2}= 3$
đề bài như zay mới có Max

[tim1nuathatlac]

sd AM-GM ta có $a+b+c\leq 3$, suy ra $\sum \frac{a}{4-c}\leq \sum \frac{a}{a+b+1}$$\leq 1$
$\sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$
đén đây sử dụng Cauchy-schwarz

[caokhanh97]

khai triển ta có $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc\leq 4

[nthoangcute]

Cho a,b,c không âm có tổng bằng 3 .Tìm GTLN của biểu thức A=$\frac{a}{4-c}$+$\frac{b}{4-a}$+$\frac{c}{4-b}$

Đặt $p=a+b+c$, $q=ab+bc+ca$, $r=abc$
Suy ra $A=\frac{a}{4-c}+\frac{b}{4-a}+\frac{c}{4-b}$
$={\frac {a}{1+b+c}}+{\frac {b}{1+c+a}}+{\frac {c}{1+a+b}}$
$=\frac{p^3-2pq+2p^2-2q+p+3r}{pq+p^2+2p+q-r+1}$
Ta sẽ chứng minh $A \leq 3$
$\Leftrightarrow p^3-2pq+2p^2-2q+p+3r \leq 3(pq+p^2+2p+q-r+1)$
$\Leftrightarrow -p^3+5pq+p^2+5q+5p-6r+3 \geq 0$
Từ giả thiết ta có $p=a+b+c=3$
Vậy ta cần chứng minh $10q-3r \geq 0$
$\Leftrightarrow 10q \geq 3r$
Theo BĐT Cauchy thì $ p q \geq 9 r$
Suy ra $q \geq 3 r$ (Dấu bằng sảy ra khi hai số bằng 0 hoặc 3 số bằng nhau, thử thì biết !)
Suy ra $10q \geq 3r$
Vậy $A_{max}=3 \Leftrightarrow a=b=0,c=3$ hoặc hoán vị.
_______________
P/s: Dựa vào cách này có thể tìm được Min đó !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 23-07-2012 - 16:48

[BoFaKe]

Đặt $p=a+b+c$, $q=ab+bc+ca$, $r=abc$
Suy ra $A=\frac{a}{4-c}+\frac{b}{4-a}+\frac{c}{4-b}$
$={\frac {a}{1+b+c}}+{\frac {b}{1+c+a}}+{\frac {c}{1+a+b}}$
$=\frac{p^3-2pq+2p^2-2q+p+3r}{pq+p^2+2p+q-r+1}$
Ta sẽ chứng minh $A \leq 3$
$\Leftrightarrow p^3-2pq+2p^2-2q+p+3r \leq 3(pq+p^2+2p+q-r+1)$
$\Leftrightarrow -p^3+5pq+p^2+5q+5p-6r+3 \geq 0$
Từ giả thiết ta có $p=a+b+c=3$
Vậy ta cần chứng minh $10q-3r \geq 0$
$\Leftrightarrow 10q \geq 3r$
Theo BĐT Cauchy thì $ p q \geq 9 r$
Suy ra $q \geq 3 r$ (Dấu bằng sảy ra khi hai số bằng 0 hoặc 3 số bằng nhau, thử thì biết !)
Suy ra $10q \geq 3r$
Vậy $A_{max}=3 \Leftrightarrow a=b=0,c=3$ hoặc hoán vị.
_______________
P/s: Dựa vào cách này có thể tìm được Min đó !

Đây là phương pháp đổi biến p,q,r không biết trong diễn đàn VMF có bài nào viết về nó không nhỉ,bạn nào có tài liệu cho mình xin với.

$A= \sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1$, suy ra $\sum \left ( 1-\frac{a}{a+b+1} \right )\geq 2$
$\sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$, mà $\sum \frac{1}{a+b+1}\geq 1$.
Vậy cần CM $\sum \frac{b}{a+b+1}\geq 1$.

đoạn post tiếp

Cái này chứng minh đơn giản mà :
$\sum \frac{b}{a+b+1}= \sum \frac{b^{2}}{a^{2}+ab+b}$
Theo cauchy schwarz thì $\sum \frac{b^{2}}{a^{2}+ab+b}\geq \frac{(a+b+c)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac+3}$
đến đó dễ rồi