Chủ đề này có 3 trả lời

[donghaidhtt]

Cho x,y,z dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\frac{\sqrt{2x^{2}+y^{2}}}{xy}+\frac{\sqrt{2y^{2}+z^{2}}}{yz}+\frac{\sqrt{2z^{2}+x^{2}}}{zx}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 30-06-2012 - 22:39

[nguyenta98]

Cho x,y,z dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\frac{\sqrt{2x^{2}+y^{2}}}{xy}+\frac{\sqrt{2y^{2}+z^{2}}}{yz}+\frac{\sqrt{2z^{2}+x^{2}}}{zx}$

Giải như sau:
$P=\sum{\dfrac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}}=\sum{\sqrt{\dfrac{2}{y^2}+\dfrac{1}{x^2}}}$
Áp dụng BDT minkovski suy ra
$\sum{\sqrt{\dfrac{2}{y^2}+\dfrac{1}{x^2}}} \geq \sqrt{2.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}$
$=\sqrt{2.3+3}=3$
Dấu $=$ khi $x=y=z=sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 30-06-2012 - 22:59

[caovannct]

bài ni cũng có thể giải như sau:
Theo BDT C - S ta có $2x^2+y^2\geq \frac{1}{3}(2x+y)^2$
như vậy VT BDT $\geq \frac{1}{\sqrt{3}}(\sum (\frac{2}{y}+\frac{1}{x}))=3$
dấu += xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=sqrt{3}

[BlackSelena]

$P=\sum{\dfrac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}}=\sum{\sqrt{\dfrac{2}{y^2}+\dfrac{1}{x^2}}}$
Áp dụng bất đẳng thức $\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} \geq x+y+z$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}} \geq \frac{\frac{1}{y}+\frac{2}{x}}{\sqrt{3}}$
Xây dựng các bđt tương tự, ta có $P\geq \frac{3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}{\sqrt{3}}=3$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=3$
Nhiều cách làm quá nhỉ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 30-06-2012 - 23:09