Chủ đề này có 3 trả lời

[Mai Duc Khai]

Bài toán: Với mọi $x_{1},x_{2},...x_{n}\in R;a_{1},a_{2},...a_{n}>0$ hãy chứng minh bất đẳng thức sau:

$\frac{1}{n-1}\left ( x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \right )^2\leq \left ( \frac{a_{1}^{n+1}}{S-a_{1}} +...+\frac{a_{n}^{m+1}}{S-a_{n}}\right )\left ( \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{m}}+ \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{m}}+...+\frac{x_{n}^{2}}{a_{n}^{m}}\right )$
Trong đó: $m,n \in N;m\geq 2$ và $S=a_1+a_2+...+a_n$




P/s: Bác nào sửa giùm e cái tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maikhaiok: 04-07-2012 - 07:09

[Tham Lang]

Bài toán: Với mọi $x_{1},x_{2},...x_{n}\in R;a_{1},a_{2},...a_{n}>0$ hãy chứng minh bất đẳng thức sau:

$\frac{1}{n-1}\left ( x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \right )^2\leq \left ( \frac{a_{1}^{n+1}}{S-a_{1}} +...+\frac{a_{1}^{m+1}}{S-a_{n}}\right )\left ( \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{m}}+ \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{m}}+...+\frac{x_{n}^{2}}{a_{n}^{m}}\right )$
Trong đó: $m,n \in N;m\geq 2$ và $S=a_1+a_2+...+a_n$




P/s: Bác nào sửa giùm e cái tiêu đề

Nhờ em xem lại cái mũ giùm anh

[Mai Duc Khai]

Nhờ em xem lại cái mũ giùm anh

Em nhầm một chỗ Đã edit lại

P/s: a cũng tinh mắt gớm

[le_hoang1995]

Bài toán: Với mọi $x_{1},x_{2},...x_{n}\in R;a_{1},a_{2},...a_{n}>0$ hãy chứng minh bất đẳng thức sau:

$\frac{1}{n-1}\left ( x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \right )^2\leq \left ( \frac{a_{1}^{n+1}}{S-a_{1}} +...+\frac{a_{n}^{m+1}}{S-a_{n}}\right )\left ( \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{m}}+ \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{m}}+...+\frac{x_{n}^{2}}{a_{n}^{m}}\right )$
Trong đó: $m,n \in N;m\geq 2$ và $S=a_1+a_2+...+a_n$




P/s: Bác nào sửa giùm e cái tiêu đề

Cái số mũ đầu tiên của VP có vấn đề rồi, giải như sau. Theo Chebusep 2 lần và CS ta có
$$\frac{a_1^{m+1}}{S-a_1}+...+\frac{a_n^{m+1}}{S-a_n}\geq \frac{1}{n}.(a_1^{m+1}+...+a_n^{m+1}).\left ( \frac{1}{S-a_1}+...+\frac{1}{S-a_n} \right )$$
$$\geq \frac{1}{n}.\frac{1}{n}.(a_1+...+a_n).(a_1^m+...+a_n^m).\frac{n^2}{\sum_{k=1}^{n} (S-a_k)}$$
$$=(a_1+...+a_n).(a_1^m+...+a_n^m).\frac{1}{(n-1).S}=\frac{a_1^m+...+a_n^m}{n-1}$$
Như vậy áp dụng CS ta được $$VP\geq \frac{a_1^m+...+a_n^m}{n-1}.\frac{(x_1+x_2+...+x_n)^2}{a_1^m+...+a_n^m}=VT$$
Dấu bằng xảy ra khi $a_1=a_2=...=a_n$ và $x_1=x_2=...=x_n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 05-07-2012 - 12:47