Chủ đề này có 2 trả lời

[khotinh112]

Em có đứa cháu nhờ làm mấy bài toán này, mà lâu nay toàn dạy LTĐH nên ko quen làm nữa, các bác giúp hộ em tí.

Bài 1: Với mỗi số tự nhiên p, chứng minh rằng tồn tại vô số số tự nhiên n sao cho 2ⁿ - n chia hết cho p.

Bài 2: Cho a, b là 2 số nguyên tố cùng nhau, chứng mình rằng: a³ + 2b³ và a³ - 2b³ đều không chia hết cho 19.

Em đang cần gấp, các bác giúp hộ em với!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 10-07-2012 - 12:55

[nguyenta98]

Bài 1: Với mỗi số tự nhiên p, chứng minh rằng tồn tại vô số số tự nhiên n sao cho 2ⁿ - n chia hết cho p.

Giải như sau:
Thử $p=1$ hiển nhiên đúng, $p=2,3$ cũng hiển nhiên
Giả sử quy nạp đến $p=q$ (tức là $p=1,2,3,...,q$ đều thỏa mãn đề bài)
Ta sẽ chứng minh cũng tồn tại vô hạn $p=q+1$ cũng đúng
Thật vậy, theo phân tích tiêu chuẩn thì $q+1=2^k.l$ với $l$ lẻ
Ta chọn $n=2^x \Rightarrow 2^{2^x}-2^x \vdots 2^k.l$
$\Rightarrow 2^x(2^{2^x-x}-1) \vdots 2^k.l$
Gọi $\phi(l)$ là số các số nhỏ hơn $l$ và nguyên tố cùng nhau với $l$ suy ra $\phi(l)<l \Rightarrow \phi(l)\le q$
Nhưng theo giả thiết quy nạp đúng đến $p=q$ thì tồn tại vô hạn $2^t-t$ chia hết cho $\phi(l)$
Khi ấy chọn $x=t \Rightarrow 2^{x}-x \vdots \phi(l)$ suy ra theo định lý Euler ta có $2^{2^x-x}-1=2^{\phi(l).u}-1 \vdots \left(2^{\phi(l)}-1\right) \vdots l$
Và ngoài ra vô hạn số $2^t-t \vdots \phi(l)$ (do giả thiết quy nạp) nên khi ấy $t$ tăng đến vô cùng và chọn $t$ đủ lớn hay khi ấy $x$ đủ lớn để $x>k$ thì $2^x\vdots 2^k$
Suy ra $\Rightarrow 2^x(2^{2^x-x}-1) \vdots 2^k.l$ với $x$ đủ lớn và mặt khác vô hạn số $2^x-x \vdots \phi(l)$
Cho nên vô hạn số thỏa $\Rightarrow 2^x(2^{2^x-x}-1) \vdots 2^k.l$ hay vô hạn số thỏa $2^{2^x}-(2^x) \vdots (q+1) \Rightarrow $ vô hạn $n=2^x$ thỏa đề
Nên có $đpcm$

Bài 2 nhường mọi người

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 10-07-2012 - 13:11

[tranhydong]

Bài 2 : Giả sử trong 2 số $a^{3}+2b^{3},a^{3}-2b^{3}$ có ít nhất 1 số chia hết cho 19 .
Nếu a chia hết cho 19 => b cũng chia hết cho 19 ( vô lý do (a,b)=1 )
Vậy cả a,b đều không chia hết cho 19
Theo định lý fermat nhỏ ta có :
$a^{18}\equiv 1 ( mod 19),b^{18}\equiv 1(mod 19)$ (*)
Xét A = $(a^{3}+2a^{3})(a^{3}-2b^{3})=a^{6}-4b^{6}$ chia hết cho 19(**)
$=> A ^{3}=a^{18}-64b^{18}-12a^{6}b^{6}(a^{6}-4b^{6})$ chia hết cho 19
Kết hợp với (*) và (**) thấy điều này vô lý => đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranhydong: 10-07-2012 - 14:24