Chủ đề này có 2 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán [Tham Lang]
Cho $a_1, a_2, ..., a_n$ là các số thực không âm thoả mãn $a_1+a_2+...+a_n=n$. Tìm max của :
$$T=a_1^4+2a_2^4+3a_3^4+...+na_n^4$$

[thedragonknight]

Bài toán [Tham Lang]
Cho $a_1, a_2, ..., a_n$ là các số thực không âm thoả mãn $a_1+a_2+...+a_n=n$. Tìm max của :
$$T=a_1^4+2a_2^4+3a_3^4+...+na_n^4$$

Em thử chém xem sao:
Chứng minh bổ đề sau:
Cho $m$ số $x_1;x_2;....;x_m$ ko âm thì ta có
$x_1^y+x_2^y+....x_m^y\leq (x_1+x_2+...x_m)^y$

Chứng minh:
Xét $y=1$.BĐT đúng
Giả sử $y=k$ đúng.Nghĩa là
$x_1^k+x_2^k+....x_m^k\leq (x_1+x_2+...x_m)^k$
Xét $y=k+1$.Ta có :
$(x_1+x_2+...x_m)^{k+1}=(x_1+x_2+...+x_m)^k.(x_1+x_2+...+x_m)\geq (x_1^k+x_2^k+...x_m^k)(x_1+x_2+...+x_m)\geq x_1^{k+1}+...+x_m^{k+1}$
Dấu $=$ xảy ra khi có ít nhất $m-1$ số $=0$
Vậy bổ đề đã đc chứng minh

Áp dụng bổ đề vào bài toán ta đc:
$T=(a_1^4+a_2^4+...+a_n^4)+(a_2^4+...+a_n^4)+(a_n^4)\leq (a_1+a_2+....+a_n)^4+(a_2+..+a_n)^4+...+(a_n)^4\leq n^4+n^4+....=n.n^4=n^5 $ ($n$ số $n^4$)
Dấu $=$ xảy ra khi $a_1=a_2=...=a_{n-1}=0$ và $a_n=n$


Ta đưa về bài toán tổng quát hơn:
Cho $a_1, a_2, ..., a_n$
là các số thực không âm thoả mãn
$a_1+a_2+...+a_n=n$.
Tìm max của :$$T=a_1^k+2a_2^k+3a_3^k+...+na_n^k$$
Làm tương tự

P/s: Bài này làm mất khá nhiều thời gian. Tự mình làm cho nó phức tạp lên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedragonknight: 11-07-2012 - 19:14

[Tham Lang]

Lời giải cực kì đơn giản :
$$a_1^4+2a_2^4+...+na_n^4\le n\left (a_1^4+a_2^4+...+a_n^4\right )\le n(a_1+a_2+...+a_n)^4=n^5$$
Chú ý là $(a_1+a_2+...+a_n)^4 =\sum a_1^4+A$ với $A\ge 0$
Dấu "=" xảy ra khi $a_1=a_2=...=a_{n-1}=0, a_n=n$