Chủ đề này có 8 trả lời

[ducthinh26032011]

Bài 1: Cho tam giác ABC không nhọn với a,b,c là 3 cạnh của tam giác.C/m:
$$a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2+3\sqrt{2}$$
và dấu bằng xảy ra khi nào?

Bài 2: a) Với 3 số thực dương x, y, z bất kì ra luôn có:
$$\frac{1}{x+y+z+1} - \frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)} \leq \frac{1}{8}$$
$b)$Khi nào xảy ra dấu đẳng thức?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 11-07-2012 - 19:00

[duypro09]

em bài 2 mans bài 2:chuẩn hóa x+y+z=3,ta có ngay xyz$\leq$ 1,$xy+z+zx\leq 3$,chú ý rằng (x+1)(y+1)(z+1)=xyz+(xy+yz+zx)+(x+y+z)+1$\leq$ 8 suy ra $\frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)}\geq \frac{1}{8}$ suy ra$\frac{1}{x+y+z+1}-\frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)}$ =$\frac{1}{4}-\frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)}$$\leq$$\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$
dau bang xay rakhi va chi khi em cung ko biet nua?????????

Cho mình hõi chuẩn hóa là sao ạ, nhìn vào 1 bài BDT sao biết khi nào chuẩn hóa, bạn có tài liệu đó không, mình tham khảo nhá.Cám ơn bạn nhiều!!!

[kobietlamtoan]

hôm nay chả làm j! ngồi chém cái đã!
bài 1:
đặt $f(a,b,c)=a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$
ta sẽ c/m: $f(a,b,c)\geq f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})$
thật vậy!
Xét $f(a,b,c)- f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})= \frac{(b-c)^{2}(a+b+c)}{bc(b+c)} \geq 0$ (mình k muốn trình bày rõ ra! hix)
do đó $f(a,b,c)\geq f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})$
lại có!
do ABC là tam giác không nhọn và a,b,c là 3 cạnh tam giác nên $b^{2}+c^{2}\leq a^{2}$
do đó! đặt $b^{2}+c^{2}= k^{2}a^{2}$ với $0<k \leq 1$
Khi đó a=$\frac{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}{k}$
Và: $f(a,b,c) + 3 = (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
Nên
$f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})$ = $f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}) = 2 + \frac{4}{\sqrt{2}k}+\sqrt{2}k$
ta chỉ cần chứng minh:
$\frac{4}{\sqrt{2}k}+\sqrt{2}k \geq 3\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow (k-1)(k-2)\geq 0$ Luôn đúng do $0< k\leq 1$
hay ta có đpcm
đẳng thức xảy ra khi $b=c$ và $k=1$
do đó!
tam giác ABC là tam giác vuông cân!

[BlackSelena]

Cho mình hõi chuẩn hóa là sao ạ, nhìn vào 1 bài BDT sao biết khi nào chuẩn hóa, bạn có tài liệu đó không, mình tham khảo nhá.Cám ơn bạn nhiều!!!

mình thì tham khảo trong đây

[kobietlamtoan]

chém nốt bài 2 xong đi ngủ!
ta có:
$\frac{1}{x+y+z+1} - \frac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)} \leq \frac{1}{x+y+z+1} - \frac{27}{(x+y+z+3)^{3}}$
do đó!
đặt $x+y+z = a$
BĐT trở thành:
$\frac{1}{a+1}-\frac{27}{(a+3)^{3}}\leq \frac{1}{8}$
$\Leftrightarrow \frac{-(3-a)^{2}(a^{2}+8a+3)}{(1+a)(3+a)^{3}}\leq 0$ Luôn đúng
do đó! ta có đpcm
dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z và x+y+z=3 => x=y=z=1

[ducthinh26032011]

chém nốt bài 2 xong đi ngủ!
ta có:
$\frac{1}{x+y+z+1} - \frac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)} \leq \frac{1}{x+y+z+1} - \frac{27}{(x+y+z+3)^{3}}$
do đó!
đặt $x+y+z = a$
BĐT trở thành:
$\frac{1}{a+1}-\frac{27}{(a+3)^{3}}\leq \frac{1}{8}$
$\Leftrightarrow \frac{-(3-a)^{2}(a^{2}+8a+3)}{(1+a)(3+a)^{3}}\leq 0$ Luôn đúng
do đó! ta có đpcm
dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z và x+y+z=3 => x=y=z=1

Bạn giải thích chỗ màu đỏ đi!

[hxthanh]

Đó là áp dụng BĐT AM-GM thôi

$(1+x)(1+y)(1+z) = \left(\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}\right)^3 \le \left(\dfrac{(1+x)+(1+y)+(1+z)}{3}\right)^3=\dfrac{(x+y+z+3)^3}{27}$
hay
$\dfrac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)} \ge \dfrac{27}{(x+y+z+3)^3}$
hay
$-\dfrac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)} \le -\dfrac{27}{(x+y+z+3)^3}$

[duypro09]

về chuẩn hóa bạn phải tìm hiểu thêm về BDT thuan nhat?chu y la phai than nhat moi chuan hoa duoc,con tai lieu ban len gôgle chac co thoi trang cua BlackSelena cung kha hay về chuẩn hóa nói chung bạn tham khảo đó là OK

Ở đâu bạn, sao mình không thấy, bạn gửi qua mail mình được không [email protected] . Chân thành cảm ơn bạn nhiều

[duypro09]

mình thì tham khảo trong đây

Bạn có tài liệu nào nữa không , như đưa phương pháp với 1 số bài tập ấy!!