10 replies to this topic

[tkvn97]

Cho a , b , c không âm. CHứng minh rằng $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

[Crystal]

Cho a , b , c không âm. CHứng minh rằng $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

Đây chẳng phải là Bất đằng thức Cauchy (AM - GM) cho 3 số không âm quen thuộc sao.

XEM NHỮNG LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN NÀY TẠI ĐÂY.

[khanh3570883]

Cho a , b , c không âm. CHứng minh rằng $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

đùa à, đây là AM-GM cho 3 số mà!

[tkvn97]

Đây chẳng phải là Bất đằng thức Cauchy (AM - GM) cho 3 số không âm quen thuộc sao.

Em biết ngay mà : Bắt chứng minh điều này nghĩa là không đc dùng AM-GM đối với 3 số đâu anh .

Có thể ùng 2 , 4 ... số

Edited by TRUNGKIEN1997, 11-07-2012 - 20:22.

[nthoangcute]

Cho a , b , c không âm. CHứng minh rằng $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

Cách 1:
Ta đặt $a=x^3,\;b=y^3,\;c=z^3$ với $x,y,z \geq 0$
Ta cần chứng minh:
$x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$
$\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \geq 0$
BĐT này luôn đúng với $x,y,z \geq 0$
Nên ta có đpcm !!!

[tkvn97]

Bài này có 3 cách chứng minh . Mọi nguơif thảo luận nhé. Trong đó có một cchs rất không hay có trong các sách .

[khanh3570883]

Em biết ngay mà : Bắt chứng minh điều này nghĩa là không đc dùng AM-GM đối với 3 số đâu anh .

à ra thế, được rồi thế này nhé!
Cách 2:
Ta có: ${\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $
Áp dụng trường hợp trên:
\[\frac{{a + b + c + d}}{4} = \frac{{\frac{{a + b}}{2} + \frac{{c + d}}{2}}}{4} \ge \sqrt {\frac{{a + b}}{2}.\frac{{c + d}}{2}} \ge \sqrt[4]{{abcd}}\]
Áp dụng tiếp trường hợp trên:
\[\begin{array}{l}
\frac{{a + b + c + \frac{{a + b + c}}{3}}}{4} \ge \sqrt[4]{{abc\frac{{a + b + c}}{3}}} \\
\Rightarrow {\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^4} \ge abc\frac{{a + b + c}}{3} \\
\Rightarrow \frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}} \\
\end{array}\]

[tkvn97]

Mọi người tham khảo cách này nhé .
$a+b+c+\sqrt[3]{abc}\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}=2(\sqrt{ab}+\sqrt{c\sqrt[3]{abc}})\geq 2.2\sqrt{\sqrt{ab}.\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}}=4\sqrt[3]{abc}\Rightarrow \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

[nthoangcute]

Cách 4:
Ta đặt $a=x^3,\;b=y^3,\;c=z^3$ với $x,y,z \geq 0$
Ta cần chứng minh:
$x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$
Chuẩn hóa $xyz=1$
Khi đó ta xét $f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3$
Lại đặt $t=\sqrt{y z}$
$f(x,y,z)-f(x,t,t)=(\sqrt{y^3}-\sqrt{z^3})^2 \geq 0$
Ta lại có:
$f(x,t,t)=\frac{(\sqrt{x}-1)^2(x+\sqrt{x}+1)^2(\sqrt{x^3}+2)}{\sqrt{x^3}} \geq 0$
Suy ra $f(x,y,z) \geq 0$

Edited by nthoangcute, 11-07-2012 - 20:30.

[khanh3570883]

Cũng với cách làm như trên, nhưng đoạn áp dụng 4 số có thể làm như sau:
\[\begin{array}{l}
\frac{{a + b + c + \sqrt[3]{{abc}}}}{4} \ge \sqrt[4]{{abc\sqrt[3]{{abc}}}} = \sqrt[3]{{abc}} \\
\Rightarrow \frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}} \\
\end{array}\]

[nthoangcute]

Cách 6:
Chuẩn hóa $a+b+c=3$
Ta cần chứng minh:
$abc \leq 1$
Xét $f(a,b,c)=1-abc$
Đặt $t=\frac{b+c}{2}$
Khi đó : $f(a,b,c)-f(a,t,t)=\frac{1}{4}a(b-c)^2 \geq 0$
Lại có:
$f(a,t,t)=\frac{(a-1)^2(4-a)}{4} \geq 0$
Suy ra $f(a,b,c) \geq 0$
Suy ra đpcm

Cách 7
Ta đặt $a=x^3,\;b=y^3,\;c=z^3$ với $x,y,z \geq 0$
Ta cần chứng minh:
$x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$
Xét $f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3 - 3xyz$
Đặt $t=\frac{y+z}{2}$
Khi đó:
$f(x,y,z)-f(x,t,t)=\frac{3}{4}(x+y+z)(y-z)^2 \geq 0$
Lại có:
$f(x,t,t)=\frac{1}{4}(x+y+z)(2x-y-z)^2 \geq 0$
Suy ra $f(x,y,z) \geq 0$
Suy ra đpcm

Cách 8:
Ta đặt $a=x^3,\;b=y^3,\;c=z^3$ với $x,y,z \geq 0$
Ta cần chứng minh:
$x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$
Xét $f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3 - 3xyz$
Đặt $t=\sqrt{yz}$
Khi đó:
$f(x,y,z)-f(x,t,t)=(\sqrt{y^3}-\sqrt{z^3})^2 \geq 0$
Lại có:
$f(x,t,t)=(2t+x)(t-x)^2 \geq 0$
Suy ra $f(x,y,z) \geq 0$
Suy ra đpcm

Cách 9:
Ta đặt $a=x^3,\;b=y^3,\;c=z^3$ với $x,y,z \geq 0$
Ta cần chứng minh:
$x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$
Hay $x(x^2-yz)+y(y^2-zx)+z(z^2-xy) \geq 0$
Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y \geq z \geq 0$
Khi đó $x^2-yz \geq y^2-zx \geq z^2-xy$
Áp dụng BĐT chebyshev ta được:
$x(x^2-yz)+y(y^2-zx)+z(z^2-xy) \geq \frac{1}{2}(x+y+z)(x^2-yz + y^2-zx + z^2-xy) \geq 0$
Suy ra đpcm !!!

Cho a , b , c không âm. CHứng minh rằng $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

Cách 10: (Dùng S.O.S)

Ta đặt $a=x^3,\;b=y^3,\;c=z^3$ với $x,y,z \geq 0$
Ta cần chứng minh:
$x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$
Hay $x^3+y^3+z^3 - 3xyz \geq 0$
Tương đương với:
$(\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3})^2+(\sqrt{z^3}-\sqrt{x y z})^2+2 ( \sqrt[4]{x^3 y^3}-z \sqrt[4]{x y})^2 \geq 0$
Suy ra đpcm

Edited by nthoangcute, 11-07-2012 - 20:59.