Chủ đề này có 3 trả lời

[nguyenhuukhoe]

Cho: ${x^2} + {y^2} + {z^2} \le 27$ , tìm GTLN và GTNN của biểu thức: \[A = x\left( {y + 1} \right) + y\left( {z + 1} \right) + z\left( {x + 1} \right)\]

------------

@ WWW:
1. Học gõ $\LaTeX$ tại đây.
2. Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết tại đây.

[WhjteShadow]

Bạn nên tham khảo thêm về cách gõ Latex ở t0pic:
http://diendantoanho...ncement=4&f=250
Còn bài này thì ta thấy $A=xy+yz+zx+x+y+z$
Dự đoán dấu = xảy ra khi $x=y=z=3$
Áp dụng Bất đẳng thức cô si ta có:
$x^2+9\geq 6x,y^2+9\geq 6y,z^2+9\geq 6z$ và $6(x^2+y^2+z^2)\geq 6(xy+yz+xz)$
Nên $8.27\geq 7(x^2+y^2+z^2)+27\geq 6(xy+yz+zx+x+y+z)$
$\to 36\geq A$
Còn GTNN thì chờ minh tý

[WhjteShadow]

GTNN:
Ta có $(x+y+z+1)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx+x+y+z)+1\geq 0\to x^2+y^2+z^2+2A+1\geq 0$
Mà $27\geq x^2+y^2+z^2\to 28+2A\geq x^2+y^2+z^2+2A+1\geq 0$
$\to A\geq -14$
Dấu bằng xảy ra khi $x^2+y^2+z^2=37$ và $x+y+z=-1$ Có rất nhiều bộ số thỏa mãn hệ này
? Đức Thịnh nói j mình cũng không hiểu lắm.Chỉ cần có 1 bộ số thỏa là đc.Không cần phải chỉ ra kĩ như thế @@~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 11-07-2012 - 22:04

[triethuynhmath]

Nếu $x;y;z< 0$
Ta đặt:$x=-a;y=-b;z=-c(a;b;c> 0)$.Khi đó:$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 27\Leftrightarrow -(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq -27$
Ta có: $A=-[(ab+bc+ca)+(a+b+c)]\leq -[a^{2}+b^{2}+c^{2}+\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}]\geq -36$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=3$ hay $x=y=z=-3$
Vậy...
Nếu $x;y;z\geq 0$
$A=(xy+yz+zx)+(x+y+z)\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}+\sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\leq 36$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=3$
Vậy...
P/s:Theo cách bạn WhjteShadow thì $x=y=z=-3$ cũng được mà.Nhưng khi đó,dấu "=" k xảy ra nữa.Bạn xem lại nhé^^

Làm gì có bạn,đã có $x^2+9\geq 6x$ thì dấu = xảy ra khi x=3 thôi chứ.Vả lại chỉ cần tìm 1 bộ số thỏa mãn điều trên là được rồi,lời giải quá đẹp rồi đâu cần phải xét thêm x=y=z=-3