Chủ đề này có 5 trả lời

[donghaidhtt]

Cho $a,b,c>0$
CM $\sqrt{b^{2}+c^{2}+bc}+\sqrt{c^{2}+a^{2}+ca}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+ab}\ge\sqrt{3(a+b+c)^{2}+(b-c)^{2}}$

[Secrets In Inequalities VP]

Cho $a,b,c>0$
CM $\sqrt{b^{2}+c^{2}+bc}+\sqrt{c^{2}+a^{2}+ca}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+ab}\ge\sqrt{3(a+b+c)^{2}+(b-c)^{2}}$

Dùng Mincốpxki phát nhề !
( kết hop vs biến đổi sau : $ x^{2}+xy+y^2= \frac{3}{4}.(x+y)^2+\frac{1}{4}.(x-y)^{2} $ )
$ VT= \sqrt{\frac{3}{4}.(a+b)^{2}+\frac{1}{4}(b-a)^{2}}+\sqrt{\frac{3}{4}.(b+c)^{2}+\frac{1}{4}(b-c)^{2}}+\sqrt{\frac{3}{4}.(c+a)^{2}+\frac{1}{4}(a-c)^{2}} $
$ \geq \sqrt{\frac{3}{4}.4(a+b+c)^{2}+\frac{1}{4}.4(b-c)^{2}}= \sqrt{3(a+b+c)^{2}+(b-c)^2} $
Vậy ...

[donghaidhtt]

Bài tiếp nè:
$\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{x_{3}}+...+\frac{x_{n}^{2}}{x_{1}}\ge x_{1}+x_{2}+...+x_{n}+\frac{4(x_{1}-x_{2})^{2}}{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}.$
Với $x_{1}$, $x_{2}$,...$x_{n}$ là các số dương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 13-07-2012 - 07:38

[Secrets In Inequalities VP]

Bài tiếp nè:
$\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{x_{3}}+...+\frac{x_{n}^{2}}{x_{1}}\ge x_{1}+x_{2}+...+x_{n}+\frac{4(x_{1}-x_{2})^{2}}{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}.$
Với $x_{1}$, $x_{2}$,...$x_{n}$ là các số dương.

BĐT $ \Leftrightarrow (\frac{x_1^2}{x_2}-2x_1+x_2)+(\frac{x_2^2}{x_3}-2x_2+x_3)+...+(\frac{x_n^2}{x_1}-2x_n+x_1)\geq \frac{4(x_1-x_2)^2}{\sum x_i} $
$ \Leftrightarrow \frac{(x_1-x_2)^{2}}{x_1}+\frac{(x_3-x_2)^{2}}{x_2}+\frac{(x_4-x_3)^{2}}{x_3}+...+\frac{(x_1-x_n)^{2}}{x_n}\geq \frac{4(x_1-x_2)^2}{\sum x_i} $
Đúng theo BĐT Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 13-07-2012 - 07:59

[BoFaKe]

BĐT $ \Leftrightarrow (\frac{x_1^2}{x_2}-2x_1+x_2)+(\frac{x_2^2}{x_3}-2x_2+x_3)+...+(\frac{x_n^2}{x_1}-2x_n+x_1)\geq \frac{4(x_1-x_2)^2}{\sum x_i} $
$ \Leftrightarrow \frac{(x_1-x_2)^{2}}{x_1}+\frac{(x_3-x_2)^{2}}{x_2}+\frac{(x_4-x_3)^{2}}{x_3}+...+\frac{(x_1-x_n)^{2}}{x_n}\geq \frac{4(x_1-x_2)^2}{\sum x_i} $
Đúng theo BĐT Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu !

Sao em thấy chả giống chỗ nào cả.Cho e coi cái BĐT Cauchy-Schwarz cộng mẫu đó đi.

[WhjteShadow]

3. BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT Schwarz
Cho $a_1;a_2;...;a_n$ ;$b_1;b_2;...b_n$ là các số $>0$
Ta có: $\frac{x_1^2}{a_1}+\frac{x_2^2}{a_2}+...+\frac{x_n^2}{a_n}\geq \frac{(x_1+x_2+...+x_n)^2}{a_1+a_2+...+a_n}$
Dấu "=" xảy ra khi $\frac{x_1}{a_1}=\frac{x_2}{a_2}...=\frac{x_n}{a_n}$

Đây nè bạn.Bài bđt trên đã khéo léo viết lại tử số của phân thức thứ 2 và thứ n để áp dụng $Cauchy-Schwarz$