$\frac{a}{b+2c+3a}+\frac{b}{c+2a+3b}+\frac{c}{a+2b+3c}\leq \frac{1}{2}$
#1
Đã gửi 17-07-2012 - 00:05
chứng minh $\frac{a}{b+2c+3a}+\frac{b}{c+2a+3b}+\frac{c}{a+2b+3c}\leq \frac{1}{2}$
- le_hoang1995, donghaidhtt, hamdvk và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 17-07-2012 - 00:42
Một cách trâu bò, quy đồng lên, ta phải chứng minhCho a,b,c$> 0$
chứng minh $\frac{a}{b+2c+3a}+\frac{b}{c+2a+3b}+\frac{c}{a+2b+3c}\leq \frac{1}{2}$
$$2(a^3+b^3+c^3)+3(a^2b+b^2c+c^2a)\geq 12abc+(ab^2+bc^2+ca^2)$$.
Nhưng đây là tổng của 2 BĐT quen thuộc dùng Schur và AM-GM.
$$a^3+b^3+c^3+3abc\geq (a^2b+b^2c+c^2a)+(ab^2+bc^2+ca^2)$$
$$(a^3+b^3+c^3)+4(a^2b+b^2c+c^2a)\geq 3abc+12abc=15abc$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
- Tham Lang, Mai Duc Khai, ducthinh26032011 và 4 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 17-07-2012 - 12:39
Ta có $Q.E.D\Leftrightarrow \frac{3a}{b+2c+3a}+\frac{3b}{c+2a+3b}+\frac{3c}{a+2b+3c}\leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{b+2c}{b+2c+3a}+\frac{c+2a}{c+2a+3b}+\frac{a+2b}{a+2b+3c}\geq \frac{3}{2}$ (Lấy 3 trừ đi 2 vế)
Nhưng lại có the0 $Cauchy-Scwarz$ thì:
$$\frac{b+2c}{b+2c+3a}+\frac{c+2a}{c+2a+3b}+\frac{a+2b}{a+2b+3c}=\frac{(b+2c)^2}{(b+2c+3a)(b+2c)}+\frac{(c+2a)^2}{(c+2a+3b)(c+2a)}+\frac{(a+2b)^2}{(a+2b+3c)(a+2b)}$$
$$\geq \frac{(3a+3b+3c)^2}{\sum (b+2c+3a)(b+2c)}=\frac{9(a+b+c)^2}{5(a^2+b^2+c^2)+13(ab+bc+ca)}$$
Và the0 $AM-GM$ thì $3(a^2+b^2+c^2)\geq 3(ab+bc+ca)\to 18(a+b+c)^2\geq 15(a^2+b^2+c^2)+39(ab+bc+ca)$
Nên $\frac{9(a+b+c)^2}{5(a^2+b^2+c^2)+13(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{2}$
Vật bđt đc chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 17-07-2012 - 12:40
- le_hoang1995, Tham Lang, henry0905 và 7 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 17-07-2012 - 21:00
cách khác :Cho a,b,c$> 0$
chứng minh $\frac{a}{b+2c+3a}+\frac{b}{c+2a+3b}+\frac{c}{a+2b+3c}\leq \frac{1}{2}$
$\sum \frac{a}{b+2c+3a}= \frac{a}{(a+b)+(a+c)+(a+c)}\leq \sum \frac{1}{9}.(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{a}{a+c})
=\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 17-07-2012 - 21:01
- hamdvk, famas1stvn98 và duongvanhehe thích
#5
Đã gửi 29-07-2012 - 20:46
Đến đây suy ra đượccách khác :
$\sum \frac{a}{b+2c+3a}= \frac{a}{(a+b)+(a+c)+(a+c)}\leq \sum \frac{1}{9}.(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{a}{a+c})
=\frac{1}{2}$
$A\leq \frac{1}{9}(3+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c})=\frac{1}{2}$
Bạn ghi rõ giùm sao $\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}\leq \frac{3}{2}$ vậy?
Khi thế a=0.1,b=0.2,c=1 thì dấu của bất dẳng thức trên đổi chiều
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 29-07-2012 - 20:52
- Zaraki, hamdvk và duongvanhehe thích
#6
Đã gửi 29-07-2012 - 21:25
Theo m' để khắc phục hạn chế của lời giải này thì :Đến đây suy ra được
$A\leq \frac{1}{9}(3+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c})=\frac{1}{2}$
Bạn ghi rõ giùm sao $\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}\leq \frac{3}{2}$ vậy?
Khi thế a=0.1,b=0.2,c=1 thì dấu của bất dẳng thức trên đổi chiều
Ta có
$\sum \frac{a}{(a+b+c)+(c+2a)}\leq \frac{1}{4}\sum (\frac{a}{a+b+c}+\frac{a}{c+2a}) \leq \frac{1}{4}(1+\sum \frac{a}{c+2a})$
$\sum \frac{a}{c+2a}=\sum \frac{1}{\frac{c+a}{2a}+\frac{c+a}{2a}+1}\leq \frac{1}{9} (2\sum \frac{a}{a+c}+1)=1$
$\Rightarrow \sum \frac{a}{b+2c+3a}\leq \frac{1}{4}(1+1)=\frac{1}{2}(dpcm)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hamdvk: 30-07-2012 - 08:08
- henry0905 yêu thích
~.......................................................~
$\Phi \frac{\because Nguyen Thai Ha\therefore }{14/07/97}\Phi$
~.............................................................................................~
#7
Đã gửi 29-07-2012 - 21:49
$\frac{a}{b+2c+3a}=\frac{a}{a+b+c+c+2a}\leq \frac{1}{4}a(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{c+2a})$
Cm tương tự:$\frac{b}{c+2a+3b}\leq \frac{1}{4}b(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+2b})$
$\frac{c}{a+2b+3c}\leq \frac{1}{4}c(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+2c})$
Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức cùng chiều ta suy ra :
$VT\leq \frac{1}{4}(1+\frac{a}{c+2a}+\frac{b}{a+2b}+\frac{c}{b+2c})\leq \frac{1}{2}$
Sau một hồi " mài sắt " quy đồng mẫu, biến đổi tương đương ta có " cây kim" : bất đẳng thức cần cm tương đương với $a^{2}b+ac^{2}+b^{2}c\geq 3abc$ ( bất đẳng thức đúng theo AM-GM cho 3 số không âm )
- henry0905 và BlackSelena thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh