Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a,b,c$ ta có thể tìm được số nguyên dương $n$ sao cho $$n^3+an^2+bn+c$$ Không phải là số chính phương
#1
Đã gửi 17-07-2012 - 11:54
$$n^3+an^2+bn+c$$
Không phải là số chính phương
- Zaraki, henry0905, hamdvk và 1 người khác yêu thích
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF
#2
Đã gửi 17-07-2012 - 15:40
anh qua của đội DELTA giải bài olympiad của đội BETA.
Giả sử A là số chính phương với mọi n nguyên dương
Đặt $f(n)= {n^3} + V{n^2} + Mn + F$
Suy ra $f(1)= 1+V+M+F$ ; $f(2)= 8+4V+2M+F$ ; $f(3)= 27+9V+3M+F$ ; $f(4)= 64 +16V+4M+F$ đều là số chính phương.
Mà: $f(4)-f(2) \equiv 2M ( mod 4)$ và $ f(4)-f(2) \equiv 0, 1 hoặc -1 (mod 4)$. ( do $ f(4), f(2)$ đều là số chính phương)
Do đó $2M \equiv 0 ( mod 4)$
Suy ra $2M+2 \equiv 2 (mod 4)$
Mặt khác: $ f(3)-f(1) \equiv 2M+2 (mod 4)$.
Suy ra mâu thuẫn!!!! ( do $ f(3)-f(1) \equiv 0, 1 hoặc -1 (mod 4)$ )
Từ đây ta có ĐPCM.
Vậy luôn tồn tại n nguyên dương sao cho $A = {n^3} + V{n^2} + Mn + F$ không phải là số chính phương.
---------------------------------------------------------------------
DELTA cố lên!!!
PSW : tuyệt
8/8 điểm
- Zaraki, L Lawliet, nguyenta98 và 5 người khác yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh