Chủ đề này có 5 trả lời

[tkvn97]

Cho các số dương a , b, c thỏa mãn $a+b+c\geq 3$ . Tìm GTNN của $\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}$

[henry0905]

Cho các số dương a , b, c thỏa mãn $a+b+c\geq 3$ . Tìm GTNN của $\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}$

$\sum \frac{a^{2}}{ab+a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+ac+bc+3}=\frac{9}{ab+bc+ca+3}$
Mà $9=(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$
$\Rightarrow ab+bc+ca+3\leq 6$
$\Rightarrow \frac{9}{ab+bc+ca+3}\geq \frac{3}{2}$
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

[tkvn97]

$\sum \frac{a^{2}}{ab+a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+ac+bc+3}=\frac{9}{ab+bc+ca+3}$
Mà $9=(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$
$\Rightarrow ab+bc+ca+3\leq 6$
$\Rightarrow \frac{9}{ab+bc+ca+3}\geq \frac{3}{2}$
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

$a+b+c\geq 3$ bạn ạ

[WhjteShadow]

Chú henry làm ngược dấu ở mẫu rồi kìa:
Đến đoạn $\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca+a+b+c}$
Ta cần chứng minh
$\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca+a+b+c}\geq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 2(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca+a+b+c)$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca\geq 3(a+b+c)$
Đúng do $2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2\geq 3(a+b+c)$
Vậy bài toán đc cm.Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 17-07-2012 - 16:39

[tkvn97]

Xin lỗi bạn, mình đọc không kĩ đề
Sử dụng AM-GM 2 số
$\frac{a}{b+1}+\frac{b+1}{4}\geq a$
$\Rightarrow A\geq a+b+c-\frac{a+b+c+3}{4}=\frac{3(a+b+c)-3}{4}\geq \frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

Sại ra tiếp rồi . $\geq \sqrt{a}$ chứ

[Nh0c_vo_D4nh]

Một hướng giải:
$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}=\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{bc+b}+\frac{c^2}{ac+c}\geq\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca+a+b+c}\geq\frac{3(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+3(a+b+c)}=\frac{3(a+b+c)}{(a+b+c)+3}$.
Đặt $t=a+b+c$ nên $t\geq3$. Do đó biểu thức trên thành: $\frac{3t}{t+3}$.
Mặt khác: $\frac{3t}{t+3}-3=\frac{-9}{t+3}\geq\frac{-3}{2}$. Do đó $\frac{3t}{t+3}\geq\frac{3}{2}$.
Vậy GTNN cần tìm là $\frac{3}{2}$. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$.